数学的帰納法

質問

x=t+1/tとおくとき、t^n+1/t^nはxのn次式であることを
証明せよ。

という問題なんですが、
これはk,k+1のときを仮定する問題ですよね？

そしてまず
[1]n=1のとき　x=t+1/tはxの1次式となり成立。
[2]n=k,n=k+1のとき
x=t^k+1/t^k,x=t^(k+1)+1/t^(k+1)と仮定すると…

と、ここまでやったらどうすればいいのか
わからなくなってしまいました。。
ここからどのようにn=k+2のとき成り立つことを
証明すればいいんでしょうか＞＜

どなたか教えてください!
よろしくお願いします。

回答No.4

Tacosan

[1] の条件が足らんし [2] の置き方もおかしい.
帰納法で「n=k, k+1 を仮定」して「n=k+2 のときを導く」わけでしょ? だったら, [1] で n=1 のときだけを言うのは不十分です.
[2] の方だと, x=t^k+1/t^k, x=t^(k+1)+1/t^(k+1) という置き方がおかしい. ここで仮定しているのは「t^k + 1/t^k が x の k次式」かつ「t^(k+1) + 1/t^(k+1) が x の k+1次式」なんだから, 「x=t^k+1/t^k」は変. 例えば「t^k + 1/t^k = P_k(x), t^(k+1) + 1/t^(k+1) = P_(k+1)(x) のように置ける (P_n(x) は x の n次式)」とか書かないと. n=k+2 のときの式を導くのは, x・P_(k+1)(x) がどうなるかを考えれば簡単.

回答No.3

kabaokaba

(t^n + 1/t^n)(t + 1/t)
=
t^{n+1} + 1 / t^{n+1} + 1/t^{n-1} + t^{n-1}

を使うだけ．
だから，n=1と2のケースを出発点として，
n<=k (k=3,4,...) を仮定して，n=k+1 を示す．
わかんなかったら，分かるまで
n=1,2,3,4,...と考えるのが帰納法の基本．

回答No.2

koko_u_

>これはk,k+1のときを仮定する問題ですよね？
なぜそう思ったのかを補足にどうぞ。

>と、ここまでやったらどうすればいいのか
>わからなくなってしまいました。
はっきり言いまして、まったく進んでいません。
少しは考えましょう。

回答No.1

noname#231526

＞x=t^k+1/t^k,x=t^(k+1)+1/t^(k+1)と仮定すると…
ではなくて、n=k の時に成り立つと仮定すると…
ですね。つまり、
(t^k)+(1/t^k)はxのk次式であるとしたときに、
(t^(k+1))+(1/t^(k+1)) が x の k+1 次式であることを証明するのです。