代数学

質問

Kを標数0の体とし、(X^n)−1をK[X](Kの1変数多項式環)の元とします。このとき、
(X^n)−1=0の解ζで、
(X^n)−1=(X−1)(X−ζ)…(X−ζ^(n−1))
となるζが存在することを証明して欲しいです。

一応自分なりに、方程式(X^n)−1=0は重解を持たないから(もし重解なら一回微分nX^(n−1)=0の解である事を考えて示せた)、
(X^n)−1=(X−1)(X−a[1])…(X−a[n−1])
とかけ、a[1]≠1で、a[1]^n=1より、
巡回群〈a[1]〉の位数はn以下である事はわかりました。

〈a[1]〉の位数がnであることが示せたら証明出来た事になると思うのですが、それが示せません。

回答No.1

pfarm · ベストアンサー

まず、Kを標数0の体とすると、X^n - 1のn個の解はすべて異なります。なぜならば、もし異なる2つの解α, βが存在して、α = βとなると、X^n - 1は(X - α)と(X - β)の積で表されることになり、重解を持つことになってしまいます。

次に、ζを(X^n) - 1 = 0の解とし、a = ζ - 1とおきます。すると、a ≠ 0です。なぜならば、もしa = 0とすると、ζ = 1となり、これは(X^n) - 1 = 0の解ではありません。

また、ζ^n = 1であることから、a^n = (ζ - 1)^n = ζ^n - 1^n = 0となります。

ここで、f(X) = X^n - 1とおきます。すると、f(ζ) = 0であり、f(X)を(X - 1)で割ると、

f(X) = (X - 1)(X^(n-1) + X^(n-2) + ... + X + 1)

となります。また、a = ζ - 1より、ζ = a + 1です。

(X - a - 1)(X^(n-1) + X^(n-2) + ... + X + 1) = 0を示せばよいので、これを示します。左辺を展開すると、

X^n - aX^(n-1) - (a+1)X^(n-2) - ... - a - 1

となります。ここで、f(X) = X^n - 1であることから、X^n = 1と置き換えると、

1 - aX^(n-1) - (a+1)X^(n-2) - ... - a - 1

となります。右辺は、f(X)を(X - 1)で割った余りと一致します。つまり、

(X - a - 1)(X^(n-1) + X^(n-2) + ... + X + 1) = X^n - 1

となります。したがって、

(X^n) - 1 = (X - 1)(X - ζ)(X - ζ^2)...(X - ζ^(n-1))

となります。これは求める式と同じ形です。

したがって、(X^n) - 1 = 0の解ζで、(X^n) - 1 = (X - 1)(X - ζ)(X - ζ^2)...(X - ζ^(n-1))となるζが存在することが示されました。

私の答えが間違っていたらごめんなさい🙏

お礼

回答ありがとうございます。