数学の証明問題

質問

テイラー展開を使えばすぐ解けるらしいんですが、うまくできません。下式を証明するにはどうしたらよいでしょうか？
exp(ix) ＝ cos(x) ＋ isin(x)

回答No.1

TOURER_S · ベストアンサー

テイラー展開でお答えします。私の書いた文は自分の手を使って計算し実際自分の計算結果をみて確かめることを求めているので絶対、自分の手で計算してほんとになるのか確かめてください。「ほんとになるのかよぉ。嘘こいてるのじゃねぇか？？」と疑ってみて計算してくださいね。

exp{x}=1 + (1/1!)x^1 + (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3
+ (1/4!)x^4 + ...
= Σ{(1/n!)x^n} 但しｎは０から無限大です。
これがわからないと言うことならば微積の本を
みてください。
ここで、すべてのｘをixに置き換えてください。
exp{ix}=1 + (1/1!)ix^1 + (1/2!)ix^2 + (1/3!)ix^3
+ (1/4!)ix^4 + ...
そして真上にある式をちょこっと並べ替えます。
ixの奇数乗、偶数乗でまとめます。
exp{ix}={1 + + (1/2!)ix^2 + + (1/4!)ix^4 + ...}
+ {(1/1!)ix^1 +(1/3!)ix^3 + (1/5!)ix^5+..}
となります。
ぴんとこなければ、項数を多めにEXP｛X｝をテイラー展開
して具体的な数字をたくさん入れてみてください。
そしてi^2= -1ということを思い出してみてi^2=-1を
代入です。
すると、前後の｛｝のなかでマイナスが一つおきに出てきませんか？
代入してマイナスが交互に出てきましたら、うしろの｛｝の中からiをくくりだしてください。各｛｝の
中をよーくみてください。一つずつみてくださいね。
前の｛｝の中をみて何か気づきませんか？
テイラー展開の具体的な公式SIN,COS,lnをみて
前の｛｝の中身と同じやつをみてください。
そしたら前の｛｝の中はCOSと同じになると思います。
ならないなら、虚数単位の計算間違いか転記ミス
の可能性ありです。残りの後ろの｛｝の中をみて
さっきと同じようにテイラー展開の具体的な公式と｛｝の
中を比べて同じやつを捜してください。同じやつは
SINになると思います。
exp{ix}={1 + + (1/2!)ix^2 + + (1/4!)ix^4 + ...}
↑これがCOSに化けます

　　　　+ {(1/1!)ix^1 +(1/3!)ix^3 + (1/5!)ix^5+..}
　　　　　↑これがisinに化けます
だからEXP｛IX｝＝　COSx　＋　iSINx　になるのです。

お礼

わかりました！ありがとうございました。