数学 数学的帰納法

質問

以下の問題がわかりません。

自然数ｎに対して、
A(n)=(cos2^n)(cos2^(n-1))・・・・(cos2)(cos1)

A(n)=sin2^(n+1)/2^(n+1)sin1 ...(1)
となることを証明せよ。

「数学的帰納法で示す
n=1のとき(1)は成立する

n=kのとき(1)が成立すると仮定する
A(k)=sin2^(k+1)/2^(k+1)sin1」

ここまではわかります。
でも次に両辺にcos2^(k+1)をかけて
cos2^(k+1)・A(n)=A(k+1)
のようになりますが、ここがわかりません。

両辺にかけるのは、n=k+1のときの
cos2^(k+1)・cos2^kだと思ったのですが違うのでしょうか。
それに、cos2^(k+1)・A(n)=A(k+1)も理解できません。

教えてください。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

noname#212313 · ベストアンサー

> A(n)=(cos2^n)(cos2^(n-1))・・・・(cos2)(cos1)―(0)

　この式を(0)としておきます。A(k)のときに(0)と(1)が成り立つと仮定しているわけですから、まず上式で、

　A(k)=(cos2^k)(cos2^(k-1))・・・・(cos2)(cos1)　―(2)

とできます。これは証明すべき仮定ではありませんが、nをkに書き換えておけば、この式を後で使います。これと同時に、証明すべき、

> A(n)=sin2^(n+1)/2^(n+1)sin1 ...(1)

についても、

　A(k)=sin2^(k+1)/2^(k+1)sin1―(3)

です。まず(2)と(3)が等しいとし、n＝k+1で成り立てば、帰納法で正しいことを示せたことになります。

　(2)の両辺にcos2^(k+1)をかけてみます。

　cos2^(k+1)A(k)={cos2^(k+1)}(cos2^k)(cos2^(k-1))・・・・(cos2)(cos1)　―(3)

　この(3)の右辺は、cos2^(k+1)からcos1までを掛けている、つまり(3)でA(k+1)とした形になっています。ですから、

　cos2^(k+1)A(k)=A(k+1)―(4)

になります。これは、証明すべき(1)及び(3)とは関係なく、(0)及び(1)で成り立つ式であるわけです。つまり、(0)という与式の定義から出て来る等式ということです。

　なお、質問文中で「cos2^(k+1)・A(n)=A(k+1)」とお書きですが、「cos2^(k+1)・A(k)=A(k+1)」としておいたほうがいいでしょう（いちいち「n＝kとすると」と断るのも面倒なので）。

　A(k)では等しいと仮定していることを使って、(3)を(4)のA(k)に代入すると、

　cos2^(k+1)(sin2^(k+1)/2^(k+1)sin1)=A(k+1)―(5)

となります。これの左辺を計算していってみます。

　cos2^(k+1)(sin2^(k+1)/2^(k+1)sin1
＝(cos2^(k+1))(sin2^(k+1)/2^(k+1)sin1　←cosとsinの積にして公式を使う
＝(1/2){sin(2^(k+1)+2^(k+1))+{sin(2^(k+1)-2^(k+1)}/2^(k+1)sin1
＝(1/2){sin(2^(k+1)+2^(k+1))+(sin0)}/2^(k+1)sin1　←sin0＝0なので消せる
＝(1/2){sin(2^(k+1)+2^(k+1))}/2^(k+1)sin1
＝(1/2){sin(2^(k+1)×2)}/2^(k+1)sin1　←2^(k+1)+2^(k+1)＝2×2^(k+1)だから、
＝(1/2){sin2^(k+2)}/2^(k+1)sin1　←2の累乗に直すと、k+2が出てくる
＝sin2^(k+2)/2^(k+2)sin1　←1/2を掛けるのを分母に適用して、分母にもk+2

　これは、証明すべき(3)でのA(k+1)になっています。ですので、k+1でも成り立つことになります。

P.S.

　A(n)をsinで表した(1)が、n＝1のときに、与えられたcosでのA(1)のcos1と等しくなるかどうかは確かめていません、すみません。上記はn＝1で、(0)と(1)が等しいという前提でのものです。

お礼

なるほど！
とてもよく理解できました。
丁寧な解説、本当にありがとうございました！