積分（大学）

質問

積分（大学）
次の関数の不定積分を求めてください。

（１）２x√（x＾２＋１）

（２）６x＾２／（x＾３＋２）＾３

（３）（x＋２）／（x＾２＋２x＋５）＾３

（４）（x＾４＋１）／x（xー１）＾３

（５）｛x（３x＾２＋５）}／（x＾２ー１）（x＾２＋１）＾２

宜しくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問について

>（3）ではx＋2＝tと置換しても、（x＾2＋2x＋5）＝tと置換しても解けませんでした。
一回の置換だけではうまく行くとは限りません。

まず、分母=(x^2+2x+5)^3=((x+1)^2+4)^3から
x+1=t と置換してやると
I=∫(x+2)/(x^2+2x+5)^3 dx=∫(t+1)/(t^2+4)^3 dt
次にt=2*tan(u)と置換して見てください。dt=2sec^2(u)du
I=(1/32)∫2cos^3(u)*sin(u)+cos^4(u) du
この先はやってみて下さい。
計算すると
I=(1/1024)(sin(4s)+8sin(2s)-16cos^4(s)+12s)
後は元の変数に戻すだけです。

回答No.3

Ae610

(3)
∫{(x＋2)/(x^2＋2x＋5)^3}dx
=1/2・∫{(2x＋2)/(x^2＋2x＋5)^3}dx＋∫{1/(x^2＋2x＋5)^3}dx

・・・としてみたらどうだろう！？

回答No.2

info22_

大学生なら課題等をそのまま丸投げしないで分かるところまでは自力でやって、途中計算を書き、分からない箇所だけ質問するようにして下さい。

取り敢えず(1),(2)のヒントだけ
（１）
>２x√（x＾２＋１）
x^2+1＝tと置換して見ると 2xdx=dt なので
∫2x√(x^2+1)dx=∫t^(1/2) dt
と簡単な積分になります。

（２）
>６x＾２／（x＾３＋２）＾３
x^3+2＝tと置換して見ると 3x^2 dx=dt なので
∫6x^2/(x^3+2)^3 dx=∫2t^(-3) dt
と簡単な積分になります。

補足

回答ありがとうございます。
おかげで、（3）以外は解けました。

（3）ではx＋2＝tと置換しても、（x＾2＋2x＋5）＝tと置換しても解けませんでした。
御教授宜しくお願いします。

回答No.1

Tacosan

「置換積分」って知ってる?

「部分分数」はわかる?

補足

どちらも分かります。