積分（３）（大学）

質問

次の関数を不定積分せよ。

（１）x√｛（１ーx）／（１＋x）}

（２）x／{x＋√（x＾２ー１）}

（２）でx＝secθと置換したのですが煩雑になってしまいとけませんでした。

（１）も同様に√｛（１ーx）／（１＋x）}＝tと置換したのですが煩雑になってしまい解けませんでした。

宜しくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞（１）も同様に√｛（１ーx）／（１＋x）}＝tと置換したのですが煩雑になってしまい
＞解けませんでした。
＞（１）x√｛（１ーx）／（１＋x）}
√｛（１ーx）／（１＋x）}＝tとおくと、１－ｘ＝ｔ^2（１＋ｘ）より、
ｘ＝（１－t^2）／（１＋ｔ^2）
ｄｘ＝｛－２ｔ（１＋ｔ^2）－（１－t^2）・２ｔ｝／（１＋ｔ^2）^2
＝－４ｔ／（１＋ｔ^2）^2
∫x√｛（１ーx）／（１＋x）}ｄｘ
＝∫｛（１－t^2）／（１＋ｔ^2）｝・ｔ・｛－４ｔ／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ
＝４∫｛（ｔ^4－ｔ^2）／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ
＝４∫｛ｔ^4／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ－４∫｛ｔ^2／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ
＝４∫｛（ｔ^4－１）／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ＋４∫｛１／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ
－４∫｛（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ＋４∫｛１／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ
＝４∫｛（ｔ^2－１）／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ＋８∫｛１／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ
－４∫｛１／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ
＝４∫｛（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ－４∫｛２／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ
＋８∫｛１／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ－４∫｛１／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ
＝４∫｛１／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ－１２∫｛１／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ
＋８∫｛１／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ
ここまで整理できます。
以下の積分は、漸化式Ｉ1＝∫｛１／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ＝tan^(-1)ｔ
∫｛１／（１＋ｔ^2）^2｝ｄｔ＝Ｉ2＝(1/2)Ｉ1＋(1/2)｛ｔ／（１＋ｔ^2）｝
＝(1/2)tan^(-1)ｔ＋(1/2)｛ｔ／（１＋ｔ^2）｝
∫｛１／（１＋ｔ^2）^3｝ｄｔ＝Ｉ3＝(3/4)Ｉ2＋(1/4)｜ｔ／（１＋ｔ^2）^2｝
＝(3/8)tan^(-1)ｔ＋(3/8)｛ｔ／（１＋ｔ^2）｝＋(1/4)｛ｔ／（１＋ｔ^2）^2｝
になっているので、（調べてみて下さい。）上の式に代入して整理すると、

積分＝tan^(-1)ｔ－｛３ｔ／（１＋ｔ^2）｝＋｛２ｔ／（１＋ｔ^2）^2｝
後は、ｔをｘに戻せばいいです。計算を確かめてみて下さい。

回答No.1

ferien

＞（２）でx＝secθと置換したのですが煩雑になってしまいとけませんでした。
分母を有理化すれば解けます。
＞（２）x／{x＋√（x＾２ー１）}
＝ｘ{x－√（x＾２ー１）}／｛ｘ^2－（ｘ^2－１）｝
＝ｘ^2－ｘ√（x＾２ー１）
∫［x／{x＋√（x＾２ー１）}］ｄｘ
＝∫ｘ^2ｄｘ－∫ｘ√（x＾２ー１）ｄｘ
２項目
∫ｘ√（x＾２ー１）ｄｘ
ｘ^2－１＝ｔとおくと、２ｘｄｘ＝ｔｄｔ
＝(1/2)∫ｔ^(1/2)ｄｔ
後は確認してみて下さい。