不定積分

質問

次の積分の問題をお教えください。
次の関数の不定積分を求めなさい。
●１/（ｘ＾２＋２ｘ＋２）
この問題は、∫ｘ＾２＋∫２ｘ＋∫２こうゆう風に分けれないのですか。分けたら答えが違いました。
●１/（ｘ＾２ーｘ+１）
これも同じく上記のやり方でやったのですが無理でした
●２/（ｘ＾＋２）
もそうです。
あと上記三者を置換積分をしたのですがうまくいませんでした。
こういった類はどうするのでしょうか。

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

１/（ｘ＾２＋２ｘ＋２）
=1/{(x+1)^2+1}
x+1=tanｔ
dx=1/(cost)^2dt
1/{(x+1)^2+1}=cos(t)^2

∫１/（ｘ＾２＋２ｘ＋２）dx=∫dt=ｔ＋C
=arctan(x+1)+C

１/（ｘ＾２ーｘ+１）=4/3*1/{[(2x-1)/√3]^2+1}
(2x-1)/√3=tant
dx=√3/2・1/(cost)^2dt
１/（ｘ＾２ーｘ+１）=4/3*1/{(tant)^2+1}=4/3*cos(t)^2
∫１/（ｘ＾２ーｘ+１）dx=4/3*√3/2∫dt=2√3/3ｔ＋C

=2√3/3arctan((2x-1)/√3)+C

２/（ｘ＾＋２）=1/（(ｘ/√2)＾2＋1）
ｘ/√2=tant
dx=√2/(cost)^2dt
∫２/（ｘ＾＋２）dx =∫1/（(tant)＾2＋1）√2/(cost)^2dt
=√2∫dt=√2t+C
=√2arctan(ｘ/√2)+C

回答No.2

noname#47894

分数の基本を確認しましょう。
例えば、１／（３＋２）＝１／３＋１／２　は間違いですね？

同様に、１/（ｘ＾２＋２ｘ＋２）＝１/（ｘ＾２）＋１／（２ｘ）＋１／２　も成り立ちません。したがって

> 分けたら答えが違いました。
> これも同じく上記のやり方でやったのですが無理でした

当たり前です。

分子が定数、分母に二次式をもつような分数式の場合、二次式について
判別式が＜０　のときは、不定積分はarctan　に（具体的な解法は、No1さんの回答をじっくり読んでください）
判別式が＝０　のときは、不定積分は分母が一次式の分数式に
判別式が＞０　のときは、部分分数分解をして、不定積分は対数関数に

持ち込めば、よろしいかと思います。
この問題は、三つとも分母の判別式が負ですね。