積分

質問

授業中に問題で、「定積分を求めるのに何故不定積分が使えるのか」というのが出ました。両者とも被積分関数を積分したら原始関数になるので、という風に答えたのですが、いまいちよく分かりません。
どなたか教えて下さい。

回答No.1

kurobe3463 · ベストアンサー

定積分はリーマン和の極限で定義される定数値．
それがなんと「原始関数（ただの微分の反対）で求まる！」というのは大発見だったのです．

「定積分を求めるのに何故不定積分が使えるのか」

それは基本定理
　(d/dx)∫_a^x f(t) dt＝f(x)
より積分∫_a^x f(t) dt が f(x) の原始関数だから．
（∫_a^x は積分区間[a,x]と思ってね）

ここでその f(x) の原始関数（不定積分）のひとつを
　G(x)＝∫_a^x f(t) dt＋C
とおきます．（Cは定数）
　G(a)＝∫_a^a f(t) dt＋C＝0＋C＝C
　G(b)＝∫_a^b f(t) dt＋C＝∫_a^b f(t) dt＋G(a)
したがって，定積分
　∫_a^b f(t) dt＝G(b)－G(a)
とリーマン和の極限などではなく，原始関数（不定積分・微分の反対）を使って表せてしまう！
というストーリーだと思います．

お礼

お返事どうもありがとうございます。
お礼が遅れてしまいすいませんでした。
大変分かりやすい解説で理解出来ました。