積分

質問

次の不定積分の解を教えてください。

∫(x+2)x^(-3)e^(-x)dx

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

I=∫(x+2)x^(-3)e^(-x)dx =∫[e^(-x)/x^2+2e^(-x)/x^3]dx=J+K

j=∫[e^(-x)/x^2]dx

K=2∫[e^(-x)/x^3]dx

いずれも部分積分を使う。

J:f'=1/x^2, g=e^(-x)とみると

f=-1/x

J=fg-∫fg'dx=-e^(-x)/x-∫(-1/x)(-1)e^(-x)dx

=-e^(-x)/x-∫[e^(-x)/x]dx=-e^(-x)/x-Ei(-x)

Ei(-x)は積分指数関数

K:f'=1/x^3, g=e^(-x)とみると

f=-(1/2)/x^(-2)

K=2[fg-∫fg'dx]=2{-[(1/2)/x^(-2)]e^(-x)-∫[-(1/2)/x^(-2)][-e^(-x)]dx}

=-e^(-x)/x^2-∫[e^(-x)/x^2]dx=-e^(-x)/x^2-J

I=J+K=-e^(-x)/x^2

実際にIを微分すると

I'=[(x+2)/x^3]e^(-x)となる。

お礼

なるほど、計算を進めると邪魔なものが消えるのですね。ありがとうございました。