曲面の方程式・表面積を求める問題

質問

(１)常螺旋面(ｕ，ｖ)＝（１，０）における接平面の方程式を求めよ

(２)回転トーラスの表面積を求めよ

大学の曲面の問題ですが、参考書を読んでもどう考えたらいいのか分からないので導出過程お願いします

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

No.4 です。誤り発見!

誤: g = det(G) = g11・g11 - g12・g21 = r^2(a+b・cos(t))^2
正: g = det(G) = g11・g22 - g12・g21 = r^2(a+b・cos(t))^2

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>ｒ（ｔ，θ）＝（（ａ＋ｂcosｔ，（ａ＋ｂcosinｔ）sinθ，ｂsinｔ）

うーん r(t, θ) = ((a+b・cos(t))cosθ, ((a+b・cos(t))sinθ, b・sin(t) ですよね

で、計量を求めると

∂r/∂t = (-b・sin(t)cosθ, -b・sin(t)・sinθ, b・cos(t))
∂r/∂θ= ((a+b・cos(t))(-sinθ), (a+b・cos(t))cosθ, 0)

なので、
g11 = ∂r/∂t・∂r/∂t = b^2
g12 = ∂r/∂t・∂r/∂θ= g21 = 0
g22 = ∂r/∂θ・∂r/∂θ = (a+b・cos(t))^2

これを計量テンソル G とすると

g = det(G) = g11・g11 - g12・g21 = r^2(a+b・cos(t))^2

√(g) = r(a+b・cos(t))

計量から面積を求めるには

面積 S = ∬√(g)dtdθ(積分範囲 t=-π～π, θ=0~2π) = 4π^2ab

これが微分幾何による解です。わかるようにトーラスに限らない、
一般的な解法です。回転体ならだいたい同じ形で解けます。
球面などでも遊んでみることをお薦めします(^^;

回答No.3

alice_44

(u,v)=(1,0) の u,v が、常螺旋面を
(u cos v, u sin v, av+b) と媒介変数表示
した際の u,v だというのであれば、
それで、問題は確定します。
p = (u cos v, u sin v, av+b) と置けば、
外積 (∂p/∂u)×(∂p/∂v) が p に於ける曲面の
法線ベクトルを表すので、
p での接平面上の点 x は、内積を用いて
((∂p/∂u)×(∂p/∂v))・(x-p) = 0 と表されます。
式を整理して、(u,v)=(1,0) を代入すればオシマイ。
計算は御自分でどうぞ。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>(２)回転トーラスの表面積を求めよ

何がわからないのでしょう？

トーラス面を表す式が作れないとか？
計量が作れないとか、
計量から面積を求める公式がわからないとか？

もう少し具体的に。

補足

関連項目には、ａ＞ｂ＞０として、ｘｚ平面上の円Ｃ：（ｘ-ａ）＾２＋ｚ＾２＝ｂ＾２を考えた時、Ｃを母線とする回転面（回転トーラス）はドーナツ型の曲面である。
Ｃはｘ＝ａ＋ｂcos，ｙ＝ｂsinｔとパラメータ表示されるので回転トーラスはｒ（ｔ，θ）＝（（ａ＋ｂcosｔ，（ａ＋ｂcosinｔ）sinθ，ｂsinｔ）で与えらる、
と記述があります。以上を踏まえて、
（１）これは一般式ではないのでしょうか？
（２）パラメータ表示の方法と、公式の使い方が分からないので説明お願いします

回答No.1

alice_44

質問のしかたが気になるので、補足要求：

(u,v)=(1,0) という記述は、三次元空間中の一点を指定しているようには見えない。
螺旋面の媒介変数表示を意図しているのであれば、どのように媒介変数表示したか
を説明しなければ、接点の場所が読む者に伝わらない。

トーラスの表面積がひとつの値に定まるためには、指定しなければならない項目が
いくつかあるはずだ。それが何か分かっているのだろうか？

補足

参考書の関連項には定数ａ、ｂに対して、ｒ（ｕ，ｖ）＝（ｕcosｖ，ｕsin，ａｖ＋ｂ）で常螺旋面は与えられる、と書かれているのですがこれで補足になっているでしょうか？