ベクトル解析、面積分の問題

質問

いまいち面積分が理解できていません。微小面素「ds」で学習し始めてることもあり、参考文献が少なく、なかなか理解するのに苦労しています。大学の演習の授業の参考にしたいので、どなたか解答お願いします。

１、曲面；z=1/2x^2-1/2y^2、(x^2+y^2≦１)の面積を求めよ。

２、曲柱面M；x=cosu、y=sinu、z=v、(0≦u≦2π、0≦v≦1)があり、Mの向きは外向き法線方向とする。次の面積分の値を求めよ。
　　　　　　　　　∬[M]（x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy）

３、球面S；x^2+y^2+z^2=1がある。Sの向きは外向き法線方向とする。ガウスの定理を用いて、次の面積分の値を求めよ。
　　　　　　　　　∬［S］（x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy)

特にヤコビ行列の置き方と、積分区間の設定が理解を妨げています。

よろしくお願い致します。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

古い本ですが「理工学のための数学ハンドブック（1960年）」はお勧めですね。名著で実用的な数学の座右の書として定評があります（絶版）。この手の本は古くても今でも通用する中身のある数学の役立つ名著で最近はこういう本は見かけませんね。当時結構高価な本でしたが、
いまはamazon.co.jpサイトの通販で中古図書として\900や\1198などとして売られていますのでそこいらの大学の微積関係の教科書より余程役に立つでしょう。
「http://www.amazon.co.jp/s/ref=ntt_athr_dp_sr_1?_encoding=UTF8&search-alias=books-jp&field-author=数学ハンドブック編集委員会」
また、無料または有料の数式処理ソフトや数式計算サイトの利用も役立つでしょう。
wxMaximaやmaple、WolframAlphaサイトなど（Googleで検索すればでてきます）

１、曲面；z=1/2x^2-1/2y^2、(x^2+y^2≦１)の面積を求めよ。
z_x=x,z_y=-y
S=∫∫[x^2+y^2≦１] √(z_x^2+z_y^2+1)dxdy ←曲面の面積公式
=∫∫[x^2+y^2≦１] √(x^2+y^2+1)dxdy　　　←z軸対称
=4∫∫[x^2+y^2≦１,x≧0,y≧0] √(x^2+y^2+1)dxdy　
x=rcos(s),y=rsin(s)とおくと dxdy=|J|drds=rdrds　←極座標に変換
I=4∫∫[0＜r≦１,π/2≧s≧0] √(r^2+1) rdrds
=4∫[0,π/2]　ds ∫[0,1] r(r^2+1)^(1/2) dr
=2π∫[0,1] r(r^2+1)^(1/2) dr
=2π[(1/3)(r^2+1)^(3/2)]_[r=0,1]
=(2/3)π(2√2-1)

取敢えず１だけ。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node61.html

お礼

有難うございます。参考にさせてもらいます。