曲面

質問

２点(1,0,0),(-1,0,0)からの距離の差の絶対値が2hである点(x,y,z)
たちの作る曲面を求めよ。

やってみました。
ｘｙ平面で考えると、(1,0)(-1,0)からの距離の差の絶対値が2hである点の軌跡は双曲線である。ゆえに求める曲面はxy平面の双曲線をx軸まわりに回転させた２葉双曲面である。
xy平面の双曲線はx^2/h^2-y^2/(1-h^2)=1であらわせる。（計算済み）
ゆえに求める方程式は
-x^2/h^2+y^2/(h^2-1)-z^2/(h^2-1)=-1
としたのですが、どうでしょう？

回答No.2

yaksa

理由は、
「点(1,0,0)と(-1,0,0)は、x軸を中心とする回転に対して不変だから」
でいいんでは。

お礼

回答、ありがとうございました。

補足

双曲線の式までは自信があるのですが、最後の「求める方程式」の部分で考え方がどうなんだろう、と思い投稿しました。

回答No.1

nich

ＯＫですよ。
ただ、答案としては、どうしてｘｙ平面で考えたか、を明記する必要があるでしょう。

たぶん、題意を満たすような点Ｐは、ｘ軸に関して対称、ということを用いたのでしょうが。

例えば、こんな風に。Ｐ（ｘ、ｙ、ｚ）Ａ（１，０，０）Ｂ（－１、０，０）とおくと、
｜ＰＡーＰＢ｜＝２ｈ　（ｈ≧０）
であるが、これを満たすＰの軌跡は、Ｑ（Ｘ，Ｙ，０）が｜ＱＡ－ＱＢ｜＝２ｈとなるようなＱの軌跡をｘ軸周りに回転したものに等しい、などと。等しい理由はあまり書く必要がない気もするし、答案に書きにくいですね。あえて書くとすれば、Ｐ（ｘ、ｙ、ｚ）とｘ軸を含むような平面は、そのｘ軸周りの回転により、ｘｚ平面と一致させることができる、などとすればいいかな。

お礼

回答、ありがとうございました。

補足

双曲線の式までは自信があるのですが、最後の「求める方程式」の部分で考え方がどうなんだろう、と思い投稿しました。