曲面積

質問

曲面Sをr(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k [i,j,kは単位ベクトル]として、ベクトルru=@x/@u(u,v)i+@y/@u(u,v)j+@z/@u(u,v)k,rv=@x/@v(u,v)i+@y/@v(u,v)j+@z/@v(u,v)kとしたとき、面素が△Sが、||(△ui)ru×(△vi)rv||と表せるのは何故でしょうか。（面素の平行四辺形の辺がそれぞれ、、(△ui)ruと(△vi)rvとで表せるという事。）どなたか、教えて下さい。

回答No.1

tgb

だいぶ長い間回答がなかったようですが、問題の内容が
うまく伝わっていないためではないかと思います。私も問題
をきちんと解釈できたか自信はないです。参考程度と言う
ことで、考え方だけ示します。

　(u,v)面にdu、dvの間隔で線を引いてできる長方形
が面素になると思います。これを、
　x=x(u,v)
　y=y(u,v)
　z=z(u,v)
で(x,y,z)空間に変換すると曲面ができるので、(u,v)面上の
長方形がこの曲面上でどう変形されるかを見てみます。
(u,v)面上に面素の３点を考えます。
　P0　(u,v)
　P1　(u+du,v)
　P2　(u,v+dv)
これが(x,y,z)空間でQ0、Q1、Q2に変換されたとします。
すると、
　Q0　(x,y,z)
　Q1　(x+(@x/@u)du,y+(@y/@u)du,z+(@z/@u)du)
　Q2　(x+(@x/@v)dv,y+(@y/@v)dv,z+(@z/@v)dv)
（u,v）面上の長方形は(x,y,z)空間で平行四辺形になります
ので辺Q0-Q1と辺Q0-Q2で作られる平行四辺形が(x,y,z)空間
での面素と言うことになります。この２つの辺をベクトル
で表す（＠は偏微分記号を表す）と、
　q1=((@x/@u)du,(@y/@u)du,(@z/@u)du)
　q2=((@x/@v)dv,(@y/@v)dv,(@z/@v)dv)
これをベクトルr：
　r=(x,y,z)
を使って表すと
　q1=(@r/@u)du=rudu　　(ru=@r/@u)
　q2=(@r/@v)dv=rvdv　　(rv=@r/@v)
大きさがこのベクトルで作られる平行四辺形の面積で、方向
がこの面に垂直なベクトルは
　q1×q2
で表されるので結局(x,y,z)空間での曲面の面素は
　dS=||q1×q2||
　　=||rudu×rvdv||
と表されることになります。

　最終的な形が質問者の示した、
　||(△ui)ru×(△vi)rv||
と異なりますが、このiがなければ一致します。