トーラスのガウス写像の問題

質問

トーラスのガウス写像はトーラス上のx(u,v)を球面のパラメーター表示の-x(u,v)
に対応させます。この事を確かめ、ちょうど同じ(u,v)で表される理由を考えて
ください。

という問題で、テキストの解答には
トーラスのxu(uで偏微分)、xv(vで偏微分)と球面のxu,xvはそれぞれ長さは違い
ますが、平行で、したがって、同じ接平面を定め、同じ単位法ベクトルを定めま
す。球面ではガウス写像は-1倍です。
と書かれていますが、テキストを見ながら自分なりに解答してみました。間違い
があればご指摘、訂正をお願いします。

＜単位球面＞
Ｘ(u,v)=
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu

Ｘu(u,v)=
-sinu・cosv
-sinu・sinv
cosu

Xv(u,v)=
-cosu・sinv
cosu・cosv
0
＜トーラス＞
xz平面上のz軸と交わらない円が生成する、z軸に関する回転軸をトーラスとい
い
ます。そのような円は、例えば、0＜r＜Rに対し、パラメーター表示
R+rcost
rsint
で与えられます。
したがって、トーラスのパラメーター表示は
Ｘ(u,v)=
(R+rcosu)cosv
(R+rcosu)sinv
rsinu
となります。―i)
u曲線はz軸を含む平面上の半径rの円です。
v曲線は水平面z=sinuに含まれる円です。
Ｘu(u,v)=
-rsinu・cosv
-rsinu・sinv
rcosu

Xv(u,v)=
-(R+rcosu)sinv
(R+rcosu)cosv
0
ですから、これらは直交し、1次独立で、i)は曲面のパラメーター表示を与えま
す。

以上より、トーラスのＸu,Xvと球面のＸu,Ｘvはそれぞれ長さは違うが、平行で
あることがわかる。
したがって、、同じ接平面を定める。
（定理　接ベクトル全体ＴＸ0SはＸu(u0,v0),Xv(u0,v0)を基底とする2次元線型
空間（平面）である。）
（定義　接ベクトル全体の作る線型空間ＴX0SをＸ0におけるＳの接平面と定め
る。）より
また、単位法ベクトルの公式
Ｎ(u,v)=Xu(u,v)×Xv(u,v)|/||Xu(u,v)×Xv(u,v)||より
球面の単位法ベクトルは、
Ｎ(u,v)=(-cos^2u・cosv+cos^2u・cosv-sinu・cosu・cosv^2-sinu・cosu・sin^2v)
/1・cosu
=(-sinu・cosu)/cosu
=-sinu
トーラスの単位法ベクトルは
Ｎ(u,v)={-rcosu(R+rcosu)sinv+rcosu(R+rcosu)sinv-rsinu(R+rcosu)cos^2v-rsinu
(R+rcosu)sin^2v}
={-rsinu(R+rcosu)}
=-sinu
よって同じ単位法ベクトルを定める。
　ガウス写像はＸ(u,v)をN(u,v)に対応させる写像で、Ｘ(u,v)の変化ξとＮ(u,v)
の変化dN(ξ)が逆方向の時、ξ方向で、曲面が上昇するのだから、上昇分を測
る量として、
第二基本変形を
φ=-ξ・dN(ξ)で定める。
という定義から、トーラスのガウス写像はトーラス上のＸ(u,v)を球面のパラメ
ータ表示の-Ｘ(u,v)に対応させる事がわかる

回答No.2

pikaruche

せっかく 接空間を定めるベクトルをもとめたのですから、
トーラス上の点を定める（u,v）と同じ（u,v）に対する球の点を指すベクトルＸ(u,v)=
（cosu・cosv,cosu・sinv,sinu)がトーラス上の法ベクトルになっているか確かめるといいですよ。
ベクトルＸ(u,v)=（cosu・cosv,cosu・sinv,sinu)とすでに出ているＸu(u,v)の内積が０、
そしてベクトルＸ(u,v)=（cosu・cosv,cosu・sinv,sinu)とすでに出ているXv(u,v)との内積が０になることは、簡単な計算によって確かめれます。（外積でも法ベクトルは求まりますが、ちょっと公式が複雑ですね）

ポイントは同じ(u,v)に対して、球面とトーラスでは平行な法ベクトルをもつということでしょう。
そして、大切な点は、これを計算ではなくて直観的に図の感覚で理解することではないでしょうか。

球面：(1,0,0)をx-y平面上をz軸まわりにv回転させこれをベクトルaとします。さらに今度はaとz軸からなる平面上を原点を中心としてu回転させる、これをベクトルbとします。球面では原点と球面上の点を結んだベクトルが法ベクトルにもなっていますから、b自体が球面上の法ベクトルになります。

トーラス：(R,0,0)x-y平面上をz軸まわりにv回転させこれをベクトルaとします。さらに今度はaとz軸からなる平面上でaを中心として、aを長さrだけ延長した延長部分（長さr）のベクトルをu回転させる（このaを中心として回転させられたベクトルをbとします）とトーラスのパラメーター表示はa+bであり、長さrの小円の半径をも示すベクトルbが法ベクトルにもなっているだろうと感覚でわかります。

球面でもトーラスでも、二段階の回転方向はまったく同じで、回転させるベクトルの長さと二段階めの回転の起点が違うだけだから、法線ベクトルの方向が同じだろうと、理解できます。

球面のパラメーター表示の-x(u,v)に対応させることで、なぜーがついているかはわからないですね。
法ベクトルは内側で定めてもよいし、外側でもよいと思います。たまたま、そのテキストでは、ここではわからない理由で、球面での法ベクトルを内側にとっていて、トーラス上では外向きにとっていたのではないでしょうか。あるいは、そのテキストではトーラス上の点を定めるのu,vの動き方が、通常とは反対方向に定められていた可能性もあります。

回答No.1

hiccup

テキストがわかりづらいので混乱があるのだと思います。
球面とは単位球面のことでしょう。そして (u,v) は全平面にわたっているのではないでしょうか。
これを前提に、問題と解答を整理してみました。トーラスを x(u,v) 、単位球面を p(u,v) とします。

問題：
トーラスのガウス写像はトーラス上の x(u,v) を単位球面のパラメーター表示の -p(u,v) に対応させます。これは、単位球面のガウス写像と同じです。この事を確かめ、ちょうど同じ (u,v) で表される理由を考えてください。

解答：
トーラスの xu 、xv と単位球面の pu, pv はそれぞれ長さは違いますが、同じ向きで、したがって、同じ単位法ベクトルを定めます。単位球面ではガウス写像は p(u,v) を -p(u,v) に対応させます。

この解釈でいくと、あなたの解答はところどころ良く、あちこち正しくないです。特に後半はよろしくありません。まず、接平面を持ち出す必要があるでしょうか。次に、外積の計算が惜しいです。結果はベクトルにならなければなりません。最後に、第二基本形式のくだりがアヤシイです。もっと詳しい説明を求めたいです。

さて、問題の前半は、ただ単純に

トーラス：x(u,v)=( (R+r cos u)cos v, (R+r cos u)sin v, r sin u )
単位球面：p(u,v)=( cos u cos v, cos u sin v, sin u )

として計算してもよいと思います。

まず、定義にしたがってトーラスの単位法ベクトルを計算します。正の数で約分すると計算が楽です。
これが、-p(u,v) になることを確認します。
次に、単位球面のガウス写像を求め、同じであることを確認します。

問題の後半は、トーラスを、v ごとに u を動かしてできる曲線（円周ですが）の集合と見なすとわかると思います。v は z軸まわりの回転を表す量ですよね？
このとき球面の半径を r にしても変わらないので、見たままに答えることができると思います。

ここで１対１の表示

トーラス：x(u,v) は表記同じで、0≦u<2π かつ 0≦v<2π
単位球面：p(u,v) も表記同じで、-π/2<u<π/2 かつ 0≦v<2π 、または (u,v)=(-π/2,0), (π/2, 0)

に立ち返ると、もっと詳しく観察できると思います。このとき球面は、両端が開いた半円弧の集合と両極の和集合とみなせます。

私にわかるのはこれくらいです。