ベクトル方程式

質問

次の問題の解き方を教えてください．

平面上の定められた位置に，O と △ABC があり，△ABC の面積を S とする．
P，D は △ABC と同じ平面上にあり，実数 s，t，u，v，に対して，
OP↑ = sOA↑+ tOB↑+ uOC↑+ vOD↑を満たすものとする．
(1) s，t，u，v が，s≧0，t≧0，u≧0，v≧0，s+t+u+v=1 を満たすとき，
P の存在する範囲の面積が 3S 以下となるような D の存在する範囲の面積を S を用いて表せ．
(2) s，t，u，v が，s≧0，t≧0，u≧0，1≧v≧0，s+t+y+v=3 を満たすとき，
P の存在する範囲の面積が 14S 以下となるような D の存在する範囲の面積を S を用いて表せ．

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

(1)4次元空間を考えて{(x,y,z,w)|x,y,z,w≧0,x+y+z+w≦1}を
2次元平面への射影により潰したとみればPがどのような
図形かわかります。

P の存在する範囲の面積が 3S 以下となる条件を考えるには
添付画像のような絵を描いてみるのがいいでしょう。

(2)は(1)の類推で。

お礼

解けました。ありがとうございました。

補足

(1)はイメージできましたが，(2)がわかりません…

回答No.2

noname#199771

#1です。

{(x,y,z,w)|x,y,z≧0,1≧w≧0,x+y+z+w≦3}が凸だから潰しても凸なので
(2)は(1)と同じような図が使えそうです。

・△ABCのところを△ABCの各辺３倍したものに置き換え
・その周りの６角形（Pの動く範囲）の大きさとして面積が 14Sになるよう調整
・一番外側の６角形（Dの動く範囲）から真ん中の三角形を抜いた部分の大きさが、
　中間にある６角形から真ん中の三角形を抜いた部分の大きさ
　の３倍（ｖ≦1で切り取ってるから）になるよう調整