曲面積について

質問

xz平面上のC1級曲線z=f(x)　(a≦x≦b)
をz軸のまわりに1回転して出来る曲面の曲面積は
2π∫(from a to b)x√1+f'^2(x)dxとなるというのが分からないので誰か教えてください

回答No.1

rtz

[a,b]を分割しa＝x(0)＜x(1)＜…＜x(n)＝bをとり、
点( x(i), 0, f(x(i)) )をP(i)とする。(nは十分大きいとする)

P(i-1)P(i)の長さは
P(i-1)P(i)
＝√{(x(i)-x(i-1))^2＋( f(x(i)) - f(x(i-1)) )^2}
＝(x(i)-x(i-1))*√[1＋{( f(x(i)) - f(x(i-1)) )/(x(i)-x(i-1))}^2]

z=f(x)がC1級曲線なので、
( f(x(i)) - f(x(i-1)) )/(x(i)-x(i-1))＝f'(t) (x(i-1)＜t＜x(i))
と表せるから、
P(i-1)P(i)＝△x(i-1)*√{1＋f'(t)^2}

さて、z=f(x)をz軸周りに1回転させて出来た曲面上に、
P(i-1)とP(i)がz軸周りに1回転して出来た円があるが、
この2つの円にはさまれた、局面上の面積S(i)を考える。

それぞれの円の円周は2πx(i-1)、2πx(i)であるが、
nが十分大きいのでここでは2πx(i)で近似して考えると、
S(i)＝P(i-1)P(i)*2πx(i)

Σ(i=1～n)S(i)が求める面積。
よって
∫(a～b) 2πx*√{1＋f'(x)^2} dx
＝2π ∫(a～b) x*√{1＋f'(x)^2} dx

最後らへんが割と適当なんで、証明ならちゃんとした方がいいかもしれません。
まぁ説明なんでこんな感じで。