レイノルズの基礎方程式 （３次元）

質問

こんにちは。流体潤滑で、レイノルズ方程式（３次元）を導出させる課題を行っています。

摩擦面にすきまにx,y,z軸をとって、上の面がｘ方向にU_2、y方向にVで動き、下の面がｘ方向にU_1の速度で動くとする。その隙間にある油膜内の一点P（x,y,z）での、ｘ、ｙ、ｚ方向の油の速度を（u,v,w）とすると、各方向に運動方程式が立てられる。

η（∂^ 2 /∂^2y）=∂P/∂ｘ
η（∂^2ｖ/∂^2y）=∂P/∂ｙ＝０
η（∂^2ｗ/∂^2y）=∂P/∂ｚ

【注】ここで、（∂^ 2 /∂^2y）は2回微分を示す。

この問題における境界条件

ｙ＝０　⇒　u=U_1, ｖ＝ｗ＝０
ｙ＝ｈ　⇒　u=U_2, ｖ＝V, ｗ＝０

を用いて２回積分を行うと、

u= {U_1+(U_1－U_2)×［ｈ－ｙ］/ ｈ} ＋{－(y［ｈ－ｙ］/ 2η(∂P/∂ｘ)}
ｖ=V y / h
w={－(y［ｈ－ｙ］/ 2η(∂P/∂z)}

が得られ、この３式と連続の式より、次のレイノルズ基礎方程式が得られる。

∂/∂x（ｈ^3×∂P/∂x）＋∂/∂ｚ（ｈ^3×∂P/∂x）=
６η（U_1－U_2）（∂ｈ/∂ｘ）＋６ηU(∂/∂x)（U_1＋U_2）＋12ηV

自分はこのレイノルズ基礎式を導出したいのですが、
(1) ２回積分を行った時のuの式が違う
u= {U_1+(U_2－U_1)×ｙ/ｈ} ＋{－(y［ｈ－ｙ］/ 2η(∂P/∂ｘ)}
となってしまう。

(2) 連続の式の使い方

がうまく理解できずに導出することができません。
参考に出来る本や、サイト、他に解答例があったらアドバイスよろしくお願いします。

回答No.2

savo_tech · ベストアンサー

（2）のヒントだけ。

・ｖ=V y / hは使いません。
・連続の式は∂ρ/∂t + ∂/∂x(ρu) + ∂/∂y(ρv) + ∂/∂z(ρw) = 0
を使います。今回は式を見るに非圧縮性流体らしいのでρは全部消えます。
・単位幅当たりの流量qx、qyはu,vが出ているのですぐに出ます。u,wをy方向に0～hで積分してください。
・∂/∂x(∫f(x,z)dz) = ∫(∂/∂x（f(x,z)))dz + ∂h/∂x(f(x,h))を使って連続の式をqx,qyを使える形に変えてください。

あと答えがおかしい気がするのですが・・・
∂/∂x（ｈ^3×∂P/∂x）＋∂/∂y（ｈ^3×∂P/∂y）=
６η（U_1+U_2）（∂ｈ/∂ｘ）＋６ηh(∂/∂x)（U_1＋U_2）＋12ηV
なのではないですか？

補足

返答ありがとうございました！

早速、単位幅当たりの流量qx、qyを求めたところ、

qx=U_1＋（U_1-U_2）×h/2＋（【-｛ｈ^3×4η｝＋｛ｈ^3/6η｝】（∂P/∂x））となり、
qy=（【｛ｈ^3×6η｝＋｛ｈ^3/4η｝】（∂P/∂z））となりました。

＞∂/∂x(∫f(x,z)dz) = ∫(∂/∂x（f(x,z)))dz + ∂h/∂x(f(x,h))を使って連続の式をqx,qyを使える形に変えてください。

とありますが、連続の式をどのように変形し、今まで求めた式に適応すればよいのか、いまいち掴めません。完全に私の数学能力不足だと思うのですが。出来れば、例を示していただけると助かります。

あと少しで答えが導出できそうなので、お手数おかけいたしますが、よろしくお願いします。

回答No.4

savo_tech

連続の式をyで積分してみると
∂/∂x(∫f(x,z)dz) = ∫(∂/∂x（f(x,z)))dz + ∂h/∂x(f(x,h))
を変形させた
∫(∂/∂x（f(x,z)))dz =∂/∂x(∫f(x,z)dz) -∂h/∂x(f(x,h))
が使える形になるはずです。
ここでqx=∫udy、qy=∫wdyが使える形が見えるはずです。

補足

savo_techさんが言うとおりに計算してみると、
実際に求めたかった式に近づきました！

もう少し自分で考えて見ます。
ありがとうございました。

回答No.3

savo_tech

すいません
∂/∂x（ｈ^3×∂P/∂x）＋∂/∂z（ｈ^3×∂P/∂z）=
６η（U_1+U_2）（∂ｈ/∂ｘ）＋６ηh(∂/∂x)（U_1＋U_2）＋12ηV
この座標の取り方ですと上記のようになりますね、答え。

回答No.1

N64

レイノルズ方程式というのは知りませんでした。
回答にはなりませんが、こういう考え方もあるのかなと、思ったサイトを紹介します。ただし、中身については、私には吟味できません。
http://www.oit.ac.jp/civil/~coast/nagare/note-7.pdf#search='%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%82%BA%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F'
http://www.cv.titech.ac.jp/~kandalab/jp/lecture/rinkou/kiso4-2/kiso4-2.html