螺旋面の主方向の方程式の求め方がわかりません。

質問

螺旋面の主方向の方程式(1)の求め方がわかりません。
またm=±1から
u曲線、v曲線に対し、45°の方向に主方向があるー(2)と導ける根拠がわかりま
せん。
以上(1)、(2)に関して途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

〈螺旋面〉のパラメーターは
X=
asinhu・cosv
asinhu・sinv
av

Xu=
acosh・cosv
acosh・sinv
0

Xv=
-asinhu・sinv
asinhu・cosv
a

g=a^2・cosh^2・u{(du)^2+(dv)^2}

G=
a^2・cosh^2・u...0
0...a^2・cosh^2・u

detG=a^4・cos^4・u

また

Xuu=
asinh・cosv
asinh・sinv
0

Xuv=
-acosh・sinv
acosh・cosv
0

Xvv=
-asinh・cosv
-asinh・sinv
0

φ=-2adudv
Φ=
0...-a
-a...0

となります。したがって
K=detΦ/detG
=-1/a^2・cosh^4・u
H≡0
です。
螺旋面は極小曲面です。主方向の方程式は
a^3・cosh^2・u(m^2-1)=0―(1)
ゆえに
m=±1
となります。

したがって、u曲線、v曲線に対し、45°の方向に主方向があります。－(2)

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

曲面上の1点で
曲面の法曲率が極値をとる方向は
方程式
(L-E/R)du+(M-F/R)dv=0…………(a1)
(M-F/R)du+(N-G'/R)dv=0…………(b1)
を満足する(du,dv)によって与えられ
主方向という。
ただし
E,F,G'は曲面の第1基本量
L,M,Nは曲面の第2基本量
1/Rは主曲率(法曲率の極値)
を表す。
<螺旋面>のパラメータを
X=(a(sinhu)cosv,a(sinhu)sinv,av)
とすると
1階偏微分は
Xu=(a(coshu)cosv,a(coshu)sinv,0)
Xv=(-a(sinhu)sinv,a(sinhu)cosv,a)
第1基本量は
E=|Xu|^2=a^2(coshu)^2………………(e)
F=(Xu,Xv)=0……………………………(f)
G'=|Xv|^2=a^2(coshu)^2………………(g)
2階偏微分は
Xuu=(a(sinhu)cosv,a(sinhu)sinv,0)
Xuv=(-a(coshu)sinv,a(coshu)cosv,0)
Xvv=(-a(sinhu)cosv,-a(sinhu)sinv,0)
第2基本量は
L=|Xuu,Xu,Xv|=0…………………………(L)
M=|Xuv,Xu,Xv|=-a…………………………(m)
N=|Xvv,Xu,Xv|=0…………………………(n)
(L),(e)から
L-E/R=-a^2(coshu)^2/R…………………(le)
(m),(f)から
M-F/R=-a……………………………………(mf)
(n),(g)から
N-G'/R=-a^2(coshu)^2/R………………(ng)

主方向の方程式
(a1)に(le),(mf)を代入すると
{-a^2(coshu)^2/R}du-adv=0
両辺に-Rをかけると
{a^2(coshu)^2}du+aRdv=0…………(a2)

(b1)に(mf),(ng)を代入すると
-adu-{a^2(coshu)^2/R}dv=0
両辺に-Rをかけると
aRdu+{a^2(coshu)^2}dv=0…………(b2)

dv=mdu
とすると
(a2)から
{a^2(coshu)^2}du+aRmdu=0
両辺をduで割ると
{a^2(coshu)^2}+aRm=0…………(a3)

(b2)から
aRdu+{a^2(coshu)^2}mdu=0
両辺をduで割ると
aR+{a^2(coshu)^2}m=0
両辺にmをかけると
amR+{a^2(coshu)^2}m^2=0
これから(a3)をひくと
a^2(coshu)^2(m^2-1)=0…………(1)
∴
m=±1
∴
dv=mdu=±du

(du,dv)
=(du,±du)
=du(1,±1)
=(du√2)(cos45°,sin±45°)

したがって
u軸からv軸へ±45°の方向に主方向がある…………(2)