トーラスのガウス写像の問題

質問

トーラスのガウス写像はトーラス上のx(u,v)を球面のパラメーター表示の-x(u,v)に対応させます。この事を確かめ、ちょうど同じ(u,v)で表される理由を考えてください。

という問題で、テキストの解答には
トーラスのxu(uで偏微分)、xv(vで偏微分)と球面のxu,xvはそれぞれ長さは違いますが、平行で、したがって、同じ接平面を定め、同じ単位法ベクトルを定めます。球面ではガウス写像は-1倍です。
と書かれていますが、最後の「球面ではガウス写像は-1倍」が成り立つ理由がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

回答No.5

ramayana

ANo.4 への補足「回答、見解をおしえて」について

見解以前に、元々の設問が意味不明です。

(1)　X(u,v) がトーラスのパラメータ表示だとすると、「ガウス写像により X(u,v) が -X(u,v) に対応する」というのは嘘。出題者の意図としては、「 -X(u,v) 」の方を単位球面のパラメータ表示のつもりだったのかもしれない。もしそうだとすると、区別すべき関数を同じ記号で表していることになり、出題者が数学の記号の使い方を分かってないと思わざるを得ない。

(2)　 「同じ(u,v)で表される理由」も何を言いたいのか。媒介変数を u, v で表そうが、η, ξ で表そうが、個人の好み。

憶測ですが、出題者は、次の趣旨にしたかった可能性もあります。

*****　設問の趣旨？　*****
u と v を実数とし、 3 次元ユークリッド空間内のトーラスと単位球面がそれぞれ次の X(u,v) と Y(u,v) でパラメータ表示されているものとする。

Ｘ(u,v) = ( (R+rcos(u))cos(v), (R+rcos(u))sin(v), rsin(u) ) （ 0 < r < R）
Y(u, v) = (cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) )

このとき、任意の実数 u, v に対し、トーラス上の点 X(u, v) は、ガウス写像により、単位球面上の点 -Y(u, v) に対応することを示せ。
****************

これだったら、解答は簡単で、ほぼ ANo.4 のとおり。Y(u, v) でなくて -Y(u, v) に対応する理由は、法ベクトルの方向をみれば分かります。次のとおり。

(∂X/∂u)(u,v) と (∂X/∂v)(u,v) の外積で計算されるトーラスの法ベクトルは、ANo.4 にあるように、

　　( -rcos(u)(R+rcos(u))cos(v),
　　 -rcos(u)(R+rcos(u))sin(v),
　　-rsin(u)cos(v)(R+rcos(u))cos(v) - rsin(u)sin(v)(R+rcos(u))sin(v) )

である。とくに、 u = v = 0 のとき、これは

　　( -r(R+r), 0, 0)

となる。これは、第1軸（x軸）に平行で、第1軸の負の方向に向くベクトルである。
一方、
(∂Y/∂u')(u',v') と (∂Y/∂v')(u',v') の外積で計算される単位球面の法ベクトルは、ANo.4 にあるように、

　　( cos(u')^2cos(v'), cos(u')^2sin(v'), cos(u')sin(u') )

である。これが第1軸と平行になるのは、-π/2≦u' <π/2、0≦v' < 2π の範囲では、 u' = v' = 0 のときと、u' = 0、v' = πのときである。このうち後者が

　　( -1, 0, 0 )

と、第1軸の負の方向に向いている。
よって、X(0, 0) は、Y(0, π) = -Y(0, 0) に対応する。これにより、少なくとも 1 点で X(u,v) が -Y(u,v ) に対応することが分かった。残りの u, vでは Y(u,v ) か -Y(u,v) のどちらかに対応するはずであるが、ガウス写像の連続性により、すべて -Y(u, v) に対応しなければならないことが分かる。

回答No.4

ramayana

****** １　単位球面の単位法線ベクトル ******

単位球面をとりあえず

　　Y(u,v) = ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) )

とパラメータ表示することにします。
(∂Y/∂u)(u,v) と (∂Y/∂u)(u,v) すなわち

　　( -sin(u)cos(v), -sin(u)cos(v), cosu )　と
　　( -cos(u)sin(v), cos(u)cos(v), 0 )

は、cos(u) ≠ 0 のとき一次独立です。このとき、単位球面上の点 Y(u, v) における接平面は、これら 2 つのベクトルで張られます。

また、このとき、Y(u, v) における単位法線ベクトルは、これらの外積をとって、

　　( cos(u)^2cos(v), cos(u)^2sin(v), cos(u)sin(u) )

の定数倍です。cos(u) で割れば

　　( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) )

となりますが、長さが 1 ですから、これは単位法線ベクトルです。cos(u) = 0 のときもこれが単位法線ベクトルになることが簡単に確かめられます。よって、逆向きも考えて、Y(u,v) における単位法線ベクトルは、次の 2 つです。

　　( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) )
　　( -cos(u)cos(v), -cos(u)sin(v), -sin(u) )

****** ２　トーラスの単位法線ベクトル ******

ANo.3 の補足の記号を使います。
トーラス上の点 X(u, v) における接平面は、(∂X/∂u)(u,v) と (∂X/∂u)(u,v) すなわち

　　( -rsin(u)cos(v), -rsin(u)sin(v), rcos(u) )　と
　　( (R+rcos(u))cosv, (R+rcos(u))sin(v), 0 )

で張られます。 X(u, v) における単位法線ベクトルは、これらの外積をとって、

　　( -rcos(u)(R+rcos(u))cos(v),
　　 -rcos(u)(R+rcos(u))sin(v),
　　-rsin(u)cos(v)(R+rcos(u))cos(v) - rsin(u)sin(v)(R+rcos(u))sin(v) )

の定数倍です。-r(R+rcos(u)) で割れば

　　( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) )

となりますが、長さが 1 ですから、これは単位法線ベクトルです。よって、逆向きも考えて、X(u,v) における単位法線ベクトルは、次の 2 つです。

　　( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) )
　　( -cos(u)cos(v), -cos(u)sin(v), -sin(u) )

****** ３　ガウス写像 ******

ガウス写像によってトーラス上の点 X(u, v) が単位球面上の点 Y(u', v') に対応するものとします。両者の単位法線ベクトルが一致するようにすればいいので、

( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) = ( cos(u')cos(v'), cos(u')sin(v'), sin(u') )
又は
( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) = ( -cos(u')cos(v'), -cos(u')sin(v'), -sin(u') )

となり、これらから次の 2 つのケースが得られます。

　　(1)　( u', v' ) = ( u, v )
　　(2)　( u', v' ) = ( -u, v+π )

(1) のケースでは X(u,v) が Y(u,v) に対応し、(2) のケースでは X(u,v) が -Y(u,v) に対応します。

どっちのケースでも X(u,v) が -X(u,v) に対応することになりません。よって、元々のご質問については、トーラス上の特殊な点に関するものか、あるいはテキストの不備が疑われます。「球面ではガウス写像は-1倍」というのも意味不明ですね。

補足

ではそもそもの問題である「トーラスのガウス写像はトーラス上のx(u,v)を球面のパラメーター表示の-x(u,v)に対応させます。この事を確かめ、ちょうど同じ(u,v)で表される理由を考えてください。 」
に関して回答者様なりの回答、見解をおしえてください。参考にしたいので宜しくお願いします。

回答No.3

ramayana

Ano.2 の補足に書かれているのは、曲線や曲面のパラメータ表示の一般論ですね。

元々のご質問「トーラス上のx(u,v)を球面のパラメーター表示の-x(u,v)に対応させ」ることを証明するには、

（１）　トーラスが 3 次元ユークリッド空間内のどこに位置しているという想定なのか
（２）　x(u, v) が具体的にどんな数式なのか

といった情報が必要です。

トーラスや単位球面をパラメータ表示する方法はいくつもあるのです。どのようなパラメータ表示を選択するかによって、トーラス上の x(u,v) が 単位球面上の –x(u, v) に対応するケースもありますが、 x(u, v) 、3x(u,v)、x(u, v) + α（αは適当なベクトル）など別のものに対応するケースもあり得ます。

したがって、ご質問及び補足に示された情報だけから上のことを証明するのは不可能です。

補足

ご指摘ありがとうございます。テキストには以下のように書かれています。
＜トーラス＞
xz平面上のz軸と交わらない円が生成する、z軸に関する回転軸をトーラスといいます。そのような円は、例えば、0＜r＜Rに対し、パラメーター表示
R+rcost
rsint
で与えられます。
したがって、トーラスのパラメーター表示は
Ｘ(u,v)=
(R+rcosu)cosv
(R+rcosu)sinv
rsinu
となります。―i)
u曲線はz軸を含む平面上の半径rの円です。
v曲線は水平面z=sinuに含まれる円です。
Ｘu(u,v)=
-rsinu・cosv
-rsinu・sinv
rcosu

Xv(u,v)=
-(R+rcosu)sinv
(R+rcosu)cosv
0
ですから、これらは直交し、1次独立で、i)は曲面のパラメーター表示を与えます。

他に不明な点があれば、再度ご指摘ください。宜しくお願いします。

回答No.2

ramayana

x、n、u、v の記号を説明なしに使ったのでは、話が通じませんよ。みんなが質問者さんと同じテキストを見ているわけでないので。

補足

テキストには以下のように書かれています。

「ユークリッド空間内の曲線は、その上を動く点を用いて表すことができます。この表し方をパラメーター表示といいます。-∞≦a＜b≦∞に対し、tを区間(a,b)を動くパラメーターとします。各tに対しx(t)を空間の点(ベクトル)とします。
x(t)=
x1(t)
x2(t)
x3(t)
(a＜t＜b)

　最も単純な曲線が直線であるように、最も単純な曲面は平面です。空間内の平面は2つのパラメーターを用いて表すことができます。ここでは、u,vをパラメーターとします。
例、u,vの1次関数を3つ並べると
x(u,v)=
a1u+b1v+c1
a2u+b2v+c2
a3u+b3v+c3

=ua+vb+c
となります。ベクトルa,bが1次独立ならば、これは平面です。

　曲線の向きは単位接ベクトルe1(t)で表され、その変化率を考えて曲率を得ました。曲面の向きは接平面が表すわけですが、向きを表すベクトルとして、接平面と直交する単位ベクトルが考えられます。この単位ベクトルを、単位法ベクトルといい、n(u,v)で表します。
n(u,v)=(1/∥xu(u,v)×xv(u,v)∥)・xu(u,v)×xv(u,v)
実際には、接平面と直交する単位ベクトルは±ｎ(u,v)の2つあり、その選択n(u,v)はパラメーター表示に依存します。」

以上宜しくお願いします。

回答No.1

ramayana

トーラス上の外周に沿った円や内周に沿った円がガウス写像で球面上のどこに写像されるかは、直感的にイメージできると思います。あとは、3次元座標で、トーラスを表す方程式と球面を表す方程式をそれぞれ具体的に記述して、接平面が一致する場所を数式で表せば、解決するはずです。

若干注意すべきは、球面上で接平面が一致する場所が２か所出てくることです。トーラス上の適当な1点でどっちを選ぶか決めると、トーラス上の残りの点がどっちに写像されるかは、ガウス写像の連続性とトーラスの向付け可能性から、一意的に定まります。

「途中計算を含めて詳しい解説を」とのことですが、ご質問中の次の言葉が何を意味しているかいまいち伝わってきません。

「トーラス上のx(u,v)」
「球面のパラメーター表示の-x(u,v)」
「トーラスのxu(uで偏微分)、xv(vで偏微分)と球面のxu,xv」
「球面ではガウス写像は-1倍」

補足

ガウス写像とはx(u,v)をn(u,v)に対応させる写像で、x(u,v)の変化ξとn(u,v)の変化dn(ξ)が逆方向の時、ξ方向で、曲面が上昇するのだから、上昇分を測る量として、第2基本変形を
φ(ξ)=-ξ・dn(ξ)
で定める。という第2基本変形の定義から
マイナスが付いていて、トーラスと球面は同じ接平面を定め、同じ単位法ベクトルを定める事を考慮すると、トーラスのガウス写像はトーラスのx(u,v)を球面のパラメータ表示の-x(u,v)に対応させる事が証明できるのではないでしょうか？