無限級数について教えてください

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無限級数について教えてください

問題は添付にしてあります

よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

（１）Ｓ＝Σ［ｎ～∞］｛５^(n+1)－３^(n+1)｝／１５^n
＝Σ［ｎ～∞］｛５・（５／１５）^n－３・（３／１５）^n｝
＝Σ［ｎ～∞］５（１／３）^n－Σ［ｎ～∞］３（１／５）^n
第１項目は、初項５，公比１／３の無限等比級数で、１／３＜１、
第２項目は、初項３，公比１／５の無限等比級数で、１／５＜１だから、
Ｓ＝［５／｛１－(1/3)｝］－［３／｛１－(1/5)｝］
＝５×（３／２）－３×（５／４）
＝１５／４

（２）Ｓ＝（１／１）＋｛１／（１＋２）｝＋……＋｛１／（１＋２＋……ｎ｝｝＋……
部分和Ｓn＝（１／１）＋｛１／（１＋２）｝＋……＋｛１／（１＋２＋……ｎ｝｝とおく。
和の公式より、
第ｎ項＝１／｛(1/2)ｎ（ｎ＋１）｝＝２／ｎ（ｎ＋１）
＝２［（１／ｎ）－｛１／（ｎ＋１）｝］より、
Ｓn＝１＋２（１／２－１／３）＋……＋２［（１／ｎ）－１／（ｎ＋１）］
隣同士打ち消し合うから、
＝１＋２｛（１／２）－１／（ｎ＋１）｝
＝２－｛２／（ｎ＋１）｝だから、
Ｓ＝lim［ｎ→∞］Ｓn＝２

どうでしょうか？