無限級数の計算について教えて下さい

質問

すみません、無限級数の問題ですが、よく分からなくて、どなたか分かりやすく計算方法（公式？）を教えて頂けると助かります

■問題
Σ[n=1 to　∞]9/10nの値は？
　(うまく表現できませんが、9÷（10のn乗）です)

■答え
1

回答No.1

f272 · ベストアンサー

初項がaで、公比がr(≠1)である無限等比級数の和はa/(1-r)ですよ。

回答No.4

sanori

こんにちは。理系のおっさんです。

等比数列ですね。

＞＞＞(うまく表現できませんが、9÷（10のn乗）です)

９／１０^n　と書けばよいですよ。

さて、
公式については、すでにいくつも回答がありますが、
私は暗記が苦手なので、すぐ導出できる公式は暗記しませんでした。
（どこか１箇所でも間違えて覚えると、アウトですので。）

Ｓ　＝　Σ[k=1→n] Ｃ・ａ^k
　＝　Ｃ・Σ[k=1→n] ａ^k
　＝　Ｃ（ａ　＋　ａ^2　＋　ａ^3　＋　・・・　＋　ａ^(n-2)　＋　ａ^(n-1)　＋　ａ^n）

両辺にａをかけると、
ａＳ　＝　Ｃ（ａ^2　＋　ａ^3　＋　ａ^4　＋　・・・　＋　ａ^(n-1)　＋　ａ^n　＋　ａ^(n+1)）

上の２つの式の差を取って、
ａＳ　－　Ｓ　＝　（ａ－１）Ｓ　＝　Ｃ（ａ^(n+1)　－　ａ）
　＝　Ｃａ（ａ^n　－　１）

よって、
Ｓ　＝　Ｃａ（ａ^n　－　１）／（ａ－１）　＝　Σ[k=1→n] Ｃ・ａ^k
これで、公式の完成です。
結構簡単でしょ？

ここで、Ｃ＝９、ａ＝１／１０　を代入すればよいので、
Σ[k=1→n] ９・１／１０^k　＝　９・１／１０・（１／１０^n　－　１）／（１／１０　－　１）
　＝　９／１０・（１／１０^n　－　１）／（－９／１０）
　＝　－（１／１０^n　－　１）

ｎ→∞　のとき、
Σ[k=1→∞] ９／１０^k　＝　lim[n→∞]　－（１／１０^n　－　１）
　＝　－（０　－　１）
　＝　１

回答No.3

haberi

その数列の和は明らかに0.999999999999999・・・に等しい。（0.9の９の上に
・がついた無限小数。）
(1)これは0.1111111111・・・X９＝1/9X9=1
(2)これをｐとおくと、10p-p＝9　よってp=1

回答No.2

rnakamra

9/10^nは初項9/10,公比1/10の等比数列です。
第k項までの和Skは
Sk=(9/10)*{1-(1/10)^k}/(1-1/10)

となります。これのk→∞の極限をとる。