無限級数

質問

A_n={1/(2n-1)}(1/2)^n　(n=1,2,...)　の無限級数
lim[n→∞]S_n
の求め方を教えてください。ヒントでもかまいません。各項についている係数が等差数列ならばいけるのですが、この問題はお手上げです。
それともはさみうちでも使うのでしょうか??使えそうにない気しかしないのですが…。降参です。そして高三です。
どうかよろしくお願いします。

回答No.4

kts2371148 · ベストアンサー

＃１です。
私も＃２さん、＃３さんのように、
出題者はテーラー展開を念頭において出題したとしか考えられません。
でも、高３なら微分積分は使えるはずなので、
テーラー展開を使わないで回答したいと思います。

f(x) = lim[n→∞] Σ[k=1～n] {1/(2k-1)}x^(2k-1) とおき、
両辺を x で微分します。すると、

f'(x) = lim[n→∞] Σ[k=1～n] x^(2k-2)

となり、右辺は無限等比級数の和ですから、|x|<1 のとき、

f'(x) = 1 / (1 - x^2)

となります。したがって、

f(x) = ∫{ 1 / (1 - x^2) } dx
= (1/2)∫{ 1 / (1 + x) } dx + (1/2)∫{ 1 / (1 - x) } dx
= (1/2)log(1+x) + (1/2)log(1-x) + C　（C は積分定数）

となり、f(0) = 0 ですから C = 0 で、

f(x) = (1/2)log(1+x) + (1/2)log(1-x)

です。

すると、求める値は、

lim[n→∞]S_n = lim[n→∞] Σ[k=1～n] {1/(2k-1)}(1/2)^k
= lim[n→∞] Σ[k=1～n] {1/(2k-1)}(1/√2)^2k
= (1/√2) lim[n→∞] Σ[k=1～n] {1/(2k-1)}(1/√2)^(2k-1)
= (1/√2) f(1/√2)
= (1/2√2) { log( 1 + 1/√2 ) - log( 1 - 1/√2) }
= (1/2√2) log { ( 1 + 1/√2 ) / ( 1 - 1/√2) }
= (1/2√2) log { ( √2 + 1 ) / ( √2 - 1) }
= (1/2√2) log { ( √2 + 1 )^2 }
= (1/√2) log ( √2 + 1 )

となります。

お礼

あ！！確かにこんな感じのものが東工大HPの予想問題の解答でありました！！スッキリしましたが、コレを思いつけといわれても無理ですね。
ありがとうございました。

回答No.8

kts2371148

＃１，＃４です。
私は、まず式をしばらく見て、
log のテーラー展開が使えそうだと考えました。
でも、＃２さん、＃３さんの回答からすると
テーラー展開は使えないので、もう一度式をしばらく見て考えました。

答えが log になるぐらいだから、
微積分しかないだろうと思いながらしばらく考えて、
log のテーラー展開を微分すると無限等比級数になることに気づき、
＃４の回答に至った次第です。

テーラー展開の知識なしでこの問題の解法を思いつく人がいるのか、
甚だ疑問です。

回答No.7

ringouri

No.6はNo.3の投稿です。ミスタイプ。No.2さん、ごめんなさい！

回答No.6

ringouri

No.2です。皆さんの回答を読むと勉強になります。（とても良い質問だということですね！）

No.4の回答欄にある解法（No.1さん）を見て、なるほど、「元の項を微分したものが等比級数項になる」という点を気付くかどうかをみているらしいことが理解できました。

高校の数学(?)では、極限の式で微分するという操作は許されているわけですね。（ロピタルの定理？ 昔はロピタルの定理を使うと教師から邪道だと言われたことがありましたが... 逆に、マクローリン展開やテーラー展開は自由に使っていたような？？ 学習指導要領が変わっているのですね。なんせ、私の大学受験は遠い過去... ）

回答No.5

inara

ANo.2 です。
たぶん正答は kts2371148 さんの解法だと思います。
kts2371148 さんの以下の式変形は、出題者の意図を感じます（こんなことは思いつかないだろう君達?）。

Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/( 2*k - 1 ) }*(1/2)^k = ( 1/√2 )*Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/( 2*k - 1 ) }( 1/√2 )^( 2*k - 1 )

淡々と回答を書くだけでは面白くないと思いますのでネタばらししますと、私の回答のヒントとなったのは、数式処理ソフトでの計算結果です。このような無限級数は数式処理ソフトを使うと一発で答えが出ます（でもどういう過程でそういう結果になるのかは分からない）。その答えからlogのテーラー展開に関係しているというヒントを得て　ANo.2 の解法に至りました。いろいろな解法があるものです。kts2371148 さんの解法のヒントは何でしょうか？

ちなみに、質問の無限級数と類似の無限級数は以下のようになります（これは数式処理ソフトでの計算結果です）。これは kts2371148 さんの解法が使えるでしょうかね？使えるとしたら次年度は以下の問題が出題されるかもしれません。

【 x のべき乗が奇数や偶数の場合 】
　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/( 2*k - 1 )*x^( 2*k - 1 ) } = ( 1/2 )*log{ ( 1 + x )/( 1 - x ) }
　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/( 2*k - 1 )*x^( 2*k ) } = ( x/2 )*log{ ( 1 + x )/( 1 - x ) }

【 {1/○}の項の○が自然数や偶数の場合 】
　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/k*x^k } = - ( 1/2 )*log( 1 - x )
　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/k*x^( 2*k-1 ) } = - ( 1/x )*log( 1 - x^2 )
　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/k*x^( 2*k ) } = - log( 1 - x^2 )

　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/( 2*k )*x^k } = - ( 1/2 )*log( 1 - x )
　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/( 2*k )*x^( 2*k-1 ) } = - { 1/( 2*x) }*log( 1 - x^2 )
　　　Σ_[ k = 1～∞ ] { 1/( 2*k )*x^( 2*k ) } = - ( 1/2 )*log( 1 -x^2 )

回答No.3

ringouri

既にNo.2さんが回答されていますので、蛇足です。
私も、「正攻法」がまったく思いつきません。「模範解答」を見てみたいです。

出題者は公式
log{(1+x)/(1-x)} = 2(x + x^3/3 + x^5/5 + x^7/7 + ・・・・） (|x|<1）
からヒントを得たとしか考えられません。
求める級数の和を S = (1/2 + 1/(3・2^2) + 1/(5・2^3) + 1/(7・2^4) + ・・・・）とします。

上の対数の公式で、x = 2^(-1/2) = 1/√2 とすると、
左辺は、log{(√2 + 1)/(√2 - 1)} = log(√2 + 1)^2 = 2・log(√2 + 1) となり、
右辺は 2・{1/√2 + 1/(3・2・√2) + 1/(5・2^2・√2 + 1/(7・2^3・√2 + ・・・・) = 2・√2・S ですから、

S = 2・log (√2 + 1) / (2・√2) = (1/√2)・log ( √2 + 1) = 0.62322524...

これを、対数の展開式を使わずに、求める方法は想像がつきません。

ぜひ「模範解答」が得られたら、教えてください。

お礼

東工大のAO問題ですね。
数学一教科という奇跡の入試です。
まあそれを受けようって言う僕も相当物好きですが。
模範解答なるものは大学側は発表してないようですが、雑誌大学への数学で特集されたという噂は聞きました。解答解説、見解が載っているのではないのでしょうか。

とにもかくにもありがとうございました。

回答No.2

inara

高校ではテーラー展開は習っていないですよね？
テーラー展開を使えるのならこういう解き方があります。

-1 < x < 1 のとき、log( 1 + x ) と log( 1 - x ) を x = 0 の近傍でテーラー展開すれば
　　　log( 1 + x ) = x - ( x^2 )/2 + ( x^3 )/3 - ( x^4 )/4 + ( x^5 )/5 ・・・ --- (1)
　　　log( 1 - x ) = - x - ( x^2 )/2 - ( x^3 )/3 - ( x^4 )/4 - ( x^5 )/5 ・・・ --- (2)
となります。

x を √X に置き換えれば
　　　log( 1 + √X ) = x - X/2 + X^(3/2)/3 - X^2/4 + X^(5/2)/5 ・・・ --- (1')
　　　log( 1 - √X ) = - x - X/2 - X^(3/2)/3 - X^2/4 - X^(5/2)/5 ・・・ --- (2')
となります。最初にx の範囲は -1 < x < 1 としましたが、x を √X に置き換えているので、上式が成り立つ X の範囲を 0≦ X < 1 とします。

式(1') - 式(2') を計算すると
　　　log( 1 + √X ) - log( 1 - √X ) = 2*[ X + { X^(3/2) }/3 + { X^(5/2) }/5 + ・・・ ]
となります。したがって
　　　1/2*{ log( 1 + √X ) - log( 1 - √X ) }
　　　= 1/2*log{ ( 1 + √X )/( 1 - √X ) }
　　　= Σ_[ n = 1～∞ ] { X^( n - 1/2) }/( 2*n - 1 )
　　　= ( 1/√X )*{ Σ_[ n = 1～∞ ] ( X^n )/( 2*n - 1 ) }
つまり
　　　Σ_[ n = 1～∞ ] ( X^n )/( 2*n - 1 ) = { ( √X )/2 }*log{ ( 1 + √X )/( 1 - √X ) }
となります。

X = 1/2 とすれば（これは 0≦ X < 1 を満たしています）
　　　Σ_[ n = 1～∞ ] { (1/2)^n }/( 2*n - 1 ) = { √(1/2) }/2*log[ { 1 + √(1/2) }/{ 1 - √(1/2) } ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 1/( 2*√2 )*log{ ( √2 + 1 )/( √2 - 1 ) }
となって、ご質問の無限級数になります。

高校ではこのような解き方はダメだと思います。やはり挟みうちでしょうか。私にはその方法は思い浮かびません。

お礼

早速の解答ありがとうございます。
テイラー展開は物理で少しかじった程度です。
なんとなく理解は出来てもキツネにつままれた、とでも言うのでしょうか(笑）とにかく

ありがとうございました。

回答No.1

kts2371148

確かに、普通の方法では難しそうですね。
f(x) = lim[n→∞] Σ[k=1～n] {1/(2k-1)}x^(2k-1) とおいて、
両辺を x で微分してみて下さい。