関数の極限・連続の問題

質問

log(1+2x)
ｆ（ｘ）＝________________
　　　　　　　　　x

の問題で、ｆ（０）＝２となるのが、解説が端折りまくっているため、理解できません。どのような変形を経てこのような解になっているのでしょうか。

回答No.2

chiropy · ベストアンサー

絶対に暗記しておかなくてはならない公式があります。
lim_(x→∞){1+1/x}^x=e (eは自然対数)
これはeの定義式ですが、これを知らなければ話になりません。
注意ですが、これは不定形であってxに∞を代入し
(与式)={1+1/∞}^∞
={1+0}^∞
=1
としてはいけません。
話しを戻しますが、上式からx→1/xの置き換えをすると
lim_(x→0)(1+x)^(1/x)=e
あとはこの式から強引に導きます
(1+x)^(1/x)=1
両辺自然対数をとって
log(1+x)^(1/x)=1
(1/x)*log(1+x)=1
{log(1+x)}/x=1
より
lim_(x→0){log(1+x)}/x=1
となります。これを利用するのです。この形も不定形なので、この公式を使った処理をするしかありません。
一般に公式のxの部分はx出なくてもよくxに対応するところがそろっていればいいです。つまり
lim_(●→0){log(1+●)}/●=1
となります。

問題の式ですが、公式と少し違うので公式の形に合わせてやります。
lim_(x→0){log(1+2x)}/x
=lim_(x→0)[{log(1+2x)}/2x]*2
(=1*2) (∵x→0の時2x→0。よって公式が使える形になりました。これは明らかなので答案には書かなくていいです。)
=2

ちなみにx→0であってx=0ではありません。f(x)は分母にxがあるためx=0の値はとりません。

回答No.1

noname#20691

質問者さんは高校生でしょうか？
（質問文からlimが抜けてますね。）

まず、公式「lim_(x →0) log(1+x)/x = 1」はご存じでしょうか？
これを理解＆暗記していないと、この問題は解けません。
この公式で、xを2xに変えてみてください。自ずと答えは出ます。