極限、不連続

質問

f(x)=x^2sin(1/x)(x≠0のとき)f(x)=0(x=0のとき)とする。このとき導関数f(x)がx=0において不連続であることを示せ。という問題が分かりません。
x^2sin(1/x)が0に近づくとき0にならないことを証明すればそいのかと考えましたが解けずにいます。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

微分係数の定義と
連続の定義に従うだけです

( f(x)-f(0) )/ (x-0)
=
f(x)/x
=
x sin(1/x)
=
sin(1/x) / (1/x) → 1 (x→0)

したがって，f(x)はx=0で微分可能で
f'(0)=1

一方，x≠0のとき
f'(x) = 2x sin(1/x) + x^2 (-1/x^2) cos(1/x)
=2x sin(1/x) - cos(1/x)
なので
x→0のとき，f'(x)は1には収束しない
＃実際は振動

ここまでくれば後は明らかでしょう

お礼

回答有難うございます。
説明していただいた部分はわかるのですがそこから先がはっきりとわかりません。私が持っている教科書に例題がないか探しても説明しかなく・・・。

補足

いま思いついた回答ですがf'(x)がx→0で定義されないからでしょうか？

回答No.3

kabaokaba

>この場合f'(x)についてであり微分した関数で証明しても問題はないのでしょうか？

そもそも何を証明するですか？
f'のx=0での連続性ではないですか？

回答No.2

kabaokaba

連続の定義はご存知ですか？

高校ならこういう定義でしょう

関数g(x)がx=aで連続であるとは
以下の三つが満たされることをいう
(1) g(a)が定義されていること
(2) x→aのときにg(x)の極限が存在すること
(3) g(a)と(2)の極限が一致すること

これに当てはめれば明らかです
＃もっともこの問題なら(2)だけですでに
＃連続でないことは明らかだった

お礼

回答有難うございます。
この場合f'(x)についてであり微分した関数で証明しても問題はないのでしょうか？