不等式についての質問です。

質問

以下２つの証明をお願い致します。
「～すればいい」とか「～を見ればいい」とかではなく
詳しい証明を書いてくださる回答のみ受け付けさせていただきます。

（１）x,y,Kは実数かつ|x|<K,|y|≧Kとする
このとき
(x-|y|)^2≧(y-|K|)^2

（２）aを定数、αを正の定数とする。
このとき
(x-a)^2≧αx^2
（何故成り立つかはグラフを書けば分かるのですが証明が分かりません）

どなたかよろしくお願い致します。

回答No.11

alice_44

A No.2 への補足について：
『x が十分大なところで』を加えても、まだ変。
(2)を「実数 r が存在して、|x|≧r のとき (x-a)^2 ≧ αx^2」
と変更してみても、α＜1 の場合にしか成り立たない。
何個かの α と a の値について成り立つのをグラフで見て、
いつでも成り立つと思ってしまったことが、失敗ではないか。

回答No.10

ferien

ANo.6です。補足について追加です。

（１）x,y,Kは実数かつ|x|<K,|y|≧Kとする
このとき
＞(x-|y|)^2≧(|y|-K)^2
（x-|y|)^2－(|y|-K)^2
＝（ｘ^2－２ｘ｜ｙ｜＋｜ｙ｜^2）－（｜ｙ｜^2－２Ｋ｜ｙ｜＋Ｋ^2）
＝ｘ^2－２ｘ｜ｙ｜＋２Ｋ｜ｙ｜－Ｋ^2
＝ｘ^2－Ｋ^2－２｜ｙ｜（ｘ－Ｋ）
＝（ｘ－Ｋ）（ｘ＋Ｋ－２｜ｙ｜）
ここで、－Ｋ＜ｘ＜Ｋより、
ｘ－Ｋ＜０，ｘ＋Ｋ＜２Ｋ
｜ｙ｜≧Ｋより、２｜ｙ｜≧２Ｋ，－２｜ｙ｜≦－２Ｋ
ｘ＋Ｋ－２｜ｙ｜＜２Ｋ－２Ｋ＝０より、
ｘ＋Ｋ－２｜ｙ｜＜０だから、
（ｘ－Ｋ）（ｘ＋Ｋ－２｜ｙ｜）＞０で、
（x-|y|)^2－(|y|-K)^2＞０は成り立ちます。
（ｘ＝Ｋでなければ、等号は成り立たないと思います。）

回答No.9

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)＃2は訂正しとく。

(正)＃7は訂正しとく。

回答No.8

mister_moonlight

＃2は訂正しとく。

(1)　(x-|y|)^2-(|y|-k)^2=x^2+2|y|(k-x) +(y^2-k^2)≧0 (k>|x|、|y|≧k)で終わり。

(2)は、この通りなら証明不能。

回答No.7

mister_moonlight

＞（１）x,y,Kは実数かつ|x|<K,|y|≧Kとする

|x|<K,|y|≦K　じゃないの？

回答No.6

ferien

ANo.5です。　補足について

＞(x-|y|)^2≧(|y|-K)^2
＞です。
について、考えてみました。
＞（１）x,y,Kは実数かつ|x|<K,|y|≧Kとする
だから、右辺＝｜ｙ｜－Ｋ≧０です。
－Ｋ＜ｘ＜Ｋ，－｜ｙ｜≦－Ｋより、
ｘ－｜ｙ｜＜Ｋ－Ｋ＝０より、左辺＝ｘ－｜ｙ｜＜０です。
２乗していない式の関係は、左辺＜右辺です。
また、両辺が正でないと、２乗した式の大小を示すことは難しいです。
それ以前に、このｘとｙの範囲では、（ｘ－｜ｙ｜）^2＝０も定義されていない（グラフが描けない）ので、証明はちょっと無理だと思います。

回答No.5

ferien

済みません。間違えました。
＞ANo.2です。
ANo.3ANo.4です。無駄な書き込みで、申し訳ありません。

補足

かまいません。
そして（１）ですが問題を記述間違えておりました。
申し訳ありません。
(x-|y|)^2≧(|y|-K)^2
です。

回答No.4

ferien

ANo.2です。訂正をお願いします。

＞｜ｘ｜＜Ｋより、－ｋ＜ｘ＜ｋ
＞｜ｙ｜≧２より、ｙ≦－Ｋ，Ｋ≦ｙ
のところ、
＞｜ｘ｜＜Ｋより、－Ｋ＜ｘ＜Ｋ
＞｜ｙ｜≧Ｋより、ｙ≦－Ｋ，Ｋ≦ｙ

Ｋ＝２などとして、グラフを描いてみれば分かるかもしれません。

回答No.3

ferien

＞（１）x,y,Kは実数かつ|x|<K,|y|≧Kとする
このとき
＞(x-|y|)^2≧(y-|K|)^2
０≦|x|<Kから、０＜Ｋ　
｜ｘ｜＜Ｋより、－ｋ＜ｘ＜ｋ
｜ｙ｜≧２より、ｙ≦－Ｋ，Ｋ≦ｙ
座標平面のこの領域に、ｘ－｜ｙ｜＝０のグラフを描くことができないので、
ｘ，ｙを同時に満たす範囲では、不等式は成立していません。だから、証明できません。

＞（２）aを定数、αを正の定数とする。
このとき
＞(x-a)^2≧αx^2
（何故成り立つかはグラフを書けば分かるのですが証明が分かりません）

不等式は成り立ちません。だから証明できません。
反例：
左辺＝（ｘ－２）^2，右辺＝２ｘ^2とすると、
ｘ＝１のとき、左辺＝（１－２）^2＝１，右辺＝２×１^2＝２より、
左辺＜右辺になります。

残念ながら不等式は証明できません。（１）（２）ともグラフを描いてみれば分かります。

回答No.2

Tacosan

だとしたら, (2) は証明できないはずなんだけどなぁ....

「グラフを書けば」どうしてわかるんだろう. 謎だ.

補足

（２）においてはxが十分大なところでしか成り立ちませんね。
すみません。
それならば証明はお分かりですか？