不等式で文字の大小の仮定

質問

不等式の証明問題で、文字の大きさを仮定するのがわからないので質問します。
k,lは自然数、またa_1,a_2は相異なる正の実数とするとき、((a_1^(k+l)+a_2^(k+l))/2>{(a_1^k+a_2^k)/2}*{(a_1^l+a_2^l)/2}を証明せよで、左辺－右辺をして、因数分解をすると、{(a_1^k-a_2^k)(a_1^l-a_2^l)}/4となり、自分は、a_1>a_2の場合とa_2>a_1の場合を分けて、両方とも左辺－右辺の値が正となると答えたのですが、本では、a_1,a_2は相異なる正の実数だからa_1＞a_2としてよいと解答の初めの方でことわっていました。a_2>a_1の場合は、証明する式がa_1とa_2の対称式だから省略できるのかとも考えたのですが、不安です。
別の問題では、x,y,zはx>0,y>0,z>0, x+y+z=3を満たす実数とする。不等式 x^3+y^3+z^3≧x^2+y^2+z^2を証明せよという問題で、x≧y≧zと仮定してよいとして、解答を書き始めていました。
いつ文字の大小を自分できめてよいのか教えてください。また、自分が最初の問題でa_1>a_2の場合とa_2>a_1の場合を分けて考えるのは、採点での減点につながるかも教えてください。どなたかお返事よろしくお願いします。

回答No.1

ballville

「仮定する」と考えるからわからなくなるんじゃないでしょうか。「仮定」ではなく変数の置き換えと考えてみてください。

二番目の例でいくと、
「x≧y≧zと仮定する」と考えるのではなく、三つの実変数なら、必ず大中小がある（等号含む）のだから、変数を置き換えて「大」をＡ、「中」をＢ、「小」をｃとした、A^3+B^3+C^3≧A^2+B^2+C^2を証明しても一般性は失われませんよね。
そのとき、置き換えに使う新変数名をABCじゃなく、元と同じxyzにしたというだけの話です。

お礼

考えなおしてみます。お返事ありがとうございます。