等式の証明

質問

０でない実数ａ、ｂ、ｘ、ｙが、ａｘ＝ｙかつｂｙ＝ｘを満たしている時、次の等式が成り立つことを示せ。
{ｘ／(ａ＋１)}＋{ｙ／(ｂ＋１)}＝ｘ＾２＋ｙ＾２／ｘ＋ｙ
という問題です。(ａ＋１)ｘ＝(ｂ＋１)ｙが成立するというのを証明してみた所で、止まってしまいました。
この後、どのように証明したら良いのか、教えてください。

回答No.4

noname#24477 · ベストアンサー

方針を変えて見ましょう。

元の式の、左辺と右辺を比べるとａ，ｂがなくなっているのに気がつきます。
ならば、条件からａ＝ｙ／ｘ，ｂ＝ｘ／ｙ（０ではないという条件が生きています）
として左辺に代入します。

ｘ／（ａ＋１）＋ｙ／（ｂ＋１）
＝ｘ／｛（ｙ／ｘ）＋１｝＋ｙ／｛（ｘ／ｙ）＋１｝

分数の中に分数が入ってもあわてない。まず分母を通分。

＝ｘ／｛（ｘ＋ｙ）／ｘ｝＋ｙ／｛（ｘ＋ｙ）／ｙ｝

分数は割り算に直せます。

ｘ÷（ｘ＋ｙ）／ｘ＋ｙ÷（ｘ＋ｙ）／ｙ

分数の割り算は分母と分子をひっくり返してかければいいので
もう後はＯＫですね。

ちなみに私は割り算に直さないで上下にｘあるいはｙをかけて整理します。

回答No.3

springside

まず、証明すべき式の右辺は、
　x^2+y^2/x+y
ではなく、
　(x^2+y^2)/(x+y)
のはずだと思います。以下、この前提で書きます。

方針：文字が４文字あって、関係式が２つあるから、２文字消去する。

ax=y,by=xからyを消去すると、
　bax=x
となり、xは0ではないので、ab=1となります。よって、b=1/aです。
また、y=axですので、bとyを消去することができます。

すると、証明すべき式の右辺=x/(a+1)+ax/(1/a+1)=(a^2+1)x/(a+1)
左辺=(x^2+a^2x^2)/(x+ax)=(a^2+1)x/(a+1)
となるので、右辺＝左辺となります。

回答No.2

TK0318

＃１です。
逆ですね＾＾；

{ｘ／(ａ＋１)}＋{ｙ／(ｂ＋１)}－ｘ＾２＋ｙ＾２／ｘ＋ｙを整理すると
１／ｐ（ｘ＾２（ｂ＋１）（ｘ＋ｙ）＋ｙ＾２（ｂ＋１）（ｘ＋ｙ）－ｙ（ｂ＋１）＾２（ｘ＾２＋ｙ＾２））
＝１／ｐ（（ｘ＋ｙ）－ｙ（ｂ＋１））
＝１／ｐ（ｘ－ｂｙ）
ｂｙ＝ｘより
＝０
よって
{ｘ／(ａ＋１)}＋{ｙ／(ｂ＋１)}＝ｘ＾２＋ｙ＾２／ｘ＋ｙ

回答No.1

TK0318

＞(ａ＋１)ｘ＝(ｂ＋１)ｙが成立するというのを証明してみた所で、止まってしまいました。

そこまでできたらほぼ終わりです。
(a+1)x-(b+1)y=ax+x-by-y
ａｘ＝ｙかつｂｙ＝ｘなので
=y+x-x-y=0
より
(ａ＋１)ｘ＝(ｂ＋１)ｙ