絶対値のついた２つの不等式について。。

質問

|x－6|< 3 .......1
|x－k|< 5 .......2 (定数 k は実数)
(1) １と２の不等式の解をそれぞれ求めよ。
(2) １、２をともに満たす実数 x が存在するような k の値の範囲を求めよ。
(3) １、２を満たす x が整数のとき、解の数が３つとなるような k の値の範囲を求めよ。

(1) について、それぞれ　３＜x＜９　、　k－５＜x＜５＋k　と求めたのですが、(2)と(3)のその先が分かりません。グラフをかいてみればいいのでしょうか？
範囲に関しての問題はとても苦手なので、こういうときは、どんな考え方をとるぶべきかわかりません。

それと求めた不等式の解があっているかどうかも知りたいので、是非教えてください。
お願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

３　＜　ｘ　＜　９　　・・・ａ
ｋ－５　＜　ｘ　＜　ｋ＋５　　　・・・ｂ

（２）
ｋ－５　が９以上だと、ｂの範囲がａの範囲より上になってしまい、
ａとｂの範囲が重ならなくなります。
よって、ｋ－５＜９　でなくてはなりません。
ｋ＜１４

ｋ＋５　が３以下だと、ｂの範囲がａの範囲より下になってしまい、
ａとｂの範囲が重ならなくなります。
よって、ｋ＋５＞３　でなくてはなりません。
ｋ＞－２

以上のことから、
－２　＜　ｋ　＜　１４

（３）
３　＜　ｘ　＜　９　　・・・ａ
この範囲の整数ｘは、４，５，６，７，８　の５個です。

ｋ－５　＜　ｘ　＜　ｋ＋５　　　・・・ｂ
ｂの範囲の幅は、ほぼ１０あるので、４，５，６，７，８　をすべて含むことが可能です。
ということは、整数解が３つになるのは、
あ）ｘ＝４，５，６　となるケース
い）ｘ＝６，７，８　となるケース
の２通りです。

（あ）の場合は、ｘ＜Ａ　のＡの範囲が　６＜Ａ≦７　とならなくてはいけません。
つまり、
６　＜　ｋ＋５　≦　７
１　＜　ｋ　≦　２
です。

（い）の場合は、ｘ＞Ｂ　のＢの範囲が　５≦Ｂ＜６　とならなくてはいけません。
つまり、
５　≦　ｋ－５　＜　６
１０　≦　ｋ　＜　１１

以上、ご参考になりましたら幸いです。
計算に自信がないので、検算してください。

お礼

sanoriさん、こんばんは。
（２）と（３）も丁寧に回答や説明を書いてくださって本当にありがとうございました。

補足

sanoriさんの説明もとても納得しやすくて、大変いい参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

＞グラフをかいてみればいいのでしょうか？

グラフより数直線をイメージして、kの値が変化したときに、３＜x＜９　の領域と　k－５＜x＜５＋k　の領域がどの程度重なるかを考えましょう。

例えば、k＝０　としたら、３＜x＜９　の領域と　－５＜x＜５　とが重なっているのは　３＜x＜５　の部分ですよね。
k＝１　だったら、３＜x＜９　のと　－４＜x＜６　ですから重なっているのは　３＜x＜６　の部分です。

このようにkの値をいろいろ変えてみて、どんなときに１と２の値域が重なっているかを考えてみてください。

お礼

なるほど、実際にkの値をいろいろ変えて代入してみたら確かに見やすいです。
これからもこの考え方を参考にします。本当にありがとうございました。