正七角形の問題

質問

正七角形ABCDEFGについて、1/AC+1/AD=1/ABが成り立つことを証明せよ

外接円の中心をOとしたとき∠AOB=2π/7でこれをαとおくと∠AOC=2α、∠AOD=3α
正弦定理よりAB=2Rsinα
AC=2Rsin2α
AD=2Rsin3α これらを最初の式に代入して
1/2Rsin2α+1/2Rsin3α=1/2Rsinα
1/sin2α+1/sin3α=1/sinα
sinαsin3α+sinαsin2α=sin2αsin3α
これを示すまではよかったのですが
sinα(sin3α+sin2α)=sin2αsin3α
2、3倍角の公式で
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sin2αsin3α
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sin(α+α)sin3α
加法定理より
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sinαcosαsin3α+cosαsinαsin3α
両辺をsinαで割ると
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=cosαsin3α+cosαsin3α
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=2cosαsin3α
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=2cosα(sin3α)
3倍角の公式より
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
sin3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
sin(2α+α)+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
加法定理より
sin2αcosα+cos2αsinα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
二倍角の公式より
2sinαcos^2α+sinα-2sin^3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
両辺sinαで割って
2cos^2α+1-2sin^2α+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
二倍角の公式より
2cos^2α+cos2α+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
2cos^2α+2cos^2α-1+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
4cos^2α-1+2cosα=2cosα(3-4sin^2α)
で詰まりました
どうすればいいでしょうか？

回答No.13

staratras · ベストアンサー

No.5&No.10です。No.7と10の補足にある、以下のご質問について少し説明させてください。

>円周角の定理から
∠AGB=∠AOB / 2が分かりません 円周角の定理は三角形の底辺の真ん中辺りから小さい三角形を取った形に使うんじゃないんですか？

≫△AGBの話なのになぜ∠AOBが出てきたのかも分かりません、∠BOGの方が関係がありそうに見えます なぜか教えてください

添付した図で円周角(水色）はすべて中心角（濃い青色）の1/2です。これが円周角の定理です。この円周角の定理から∠AGB=∠AOB / 2　です

∠AOB=2π/7　なので　∠AGB=π/7 です。　三角形AGBはOを中心とする円に内接します(逆にいうと三角形AGBの外接円がOを中心とする円）ですので
正弦定理から　AB/sin(π/7）=2R が成り立ちます。単位円で考えれば　AB/sin(π/7）=2です。

お礼

ABOGの外接円を書き、ABを弧と見るまで分からないですねこれ・・・
この発想にたどり着くことが凄いと思います
やっと分かりました ありがとうございました

回答No.14

staratras

画像を添付します。

回答No.12

Tacosan

なんとなく, 円周角の定理を見直してみたらどうだろうかと言いたい.

回答No.11

staratras

No.10です。誤記を訂正します。

誤　AC=sin(2π/7)=2sin2α,AD=sin(3π/7)=2sin3α

正　AC=2sin(2π/7)=2sin2α,AD=2sin(3π/7)=2sin3α

補足

了解です

回答No.10

staratras

No.5です。少し補足します。1/AC+1/AD=1/AB を示すには1/sin2α+1/sin3α=1/sinα （α=π/7）が言えればよいことは次のように考えて導きました。(もちろん正弦定理を使ってもできますが…）

半径1の単位円に内接する正七角形ABCDEFGを考える。円の中心をOとする。
∠AOB=2π/7 で三角形OABはOA＝OBの二等辺三角形である。ここで∠AOBを2等分する直線をOからABに向けて延長し、ABとの交点をMとするとAM＝BMかつOM⊥ABである。
(二等辺三角形の頂角の2等分線は、底辺の垂直２等分線と一致するから）

∠AOM=π/7, AM=AB/2, AM/OA=sin(π/7), OA=1だから　AB/2=sin(π/7) よって　AB=2sinα、以下同様にAC=sin(2π/7)=2sin2α,AD=sin(3π/7)=2sin3α
1/AC+1/AD=1/AB に代入すれば、1/2sin2α+1/2sin3α=1/2sinα したがって 1/sin2α+1/sin3α=1/sinα （α=π/7）

なおNo.9の補足についてですが、円周角は中心角の1/2という関係は、ご質問の「三角形の底辺の真ん中辺りから小さい三角形を取った形」(添付した図で言えば∠AEB=∠AOB/2)だけではなく、横にずれたように見える場合でも成り立ちます。(例えば∠AGB=∠AOB/2）

補足

2π/7でも出来るのは新しいですね
△AGBが横にずれたようには見えないです、また△AGBの話なのになぜ∠AOBが出てきたのかも分かりません、∠BOGの方が関係がありそうに見えます なぜか教えてください

回答No.9

rnakamra

#8の補足に対して。

#5での回答にある"α"と質問者の"α"がそもそも違う角度であることを無視しています。

#5では α=π/7
質問者は　α=2π/7

違って当然。
#5では中心Oに対する角ではなく例えばGに対する角(∠AGB)をαと置いているのです。
△GAB,△GAC,△GADについそれぞれ正弦定理の式を書いて関係式を導きだしているのです。

円周角の定理から
∠AGB=∠AOB / 2
が成り立ちます。ですので∠AGB=π/7となります。

補足

ありがとうございます ようやくほとんど分かりました
ただ、

円周角の定理から
∠AGB=∠AOB / 2

が分かりません 円周角の定理は三角形の底辺の真ん中辺りから小さい三角形を取った形に使うんじゃないんですか？

回答No.8

Tacosan

#7 への補足について 1点だけ:

正弦定理が「成り立つ」とか「成り立たない」とかいうのが「どの三角形 (と円) に対し」なのかを考えてください.

補足

私は
正弦定理より
AB=2Rsinα
AC=2Rsin2α
AD=2Rsin3α
となって
1/sin2α+1/sin3α=1/sinαを示す問題になりました
しかし、△OABで正弦定理が成り立たないとの回答があったので、∠AOB=αとその向かい側のABでAB/sinα=2Rというのが成り立たず、同様に△AOC、AODでも正七角形の外接円がこれらの三角形の外接円ではないからAC/sin2α=2R、AD/sin3α=2Rも成り立たないということになりました
つまり、これら正弦定理が成り立たないと代入して1/sin2α+1/sin3α=1/sinαという形にならないのにNo.5さんはこれを示す方法もあると言っているので訳がわからなくなったという状態です

回答No.7

Kules

Kulesです。
>△OABは内接してませんか？OA=OB=半径でABより弧の方が外にありますから内接してると思ったのですが

>中心角がπ/7じゃおかしくないですか？360゜を7つの辺で7分割したのだから∠AOBは2π/7だと思うのですが

ええと…まず外接円とは何ぞや？という話から。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%86%86
三角形の外接円というのは、三角形の３つの頂点を全て通る円のことです。
したがって、円Oが正七角形ABCDEFの外接円であった時中心角∠AOBが2π/7であることは間違いないですが、
円Oは三角形OABの外接円ではありません（円Oの円弧はOを通らないですよね？）
ということは、円Oの半径を使って正弦定理を使うことはできません。
なぜなら三角形OABは円Oに内接してないですから。（確かこれは「内包」という関係だったような）

>左辺と右辺を変更しちゃダメなんですね ただ左辺をどうしたら右辺に近づくか分からないです
解答の見通しを立てるために自分の手元でこっそりやる分にはいいですが、解答にがっつり書くのはあまりほめられたやり方ではありません。（というか回答が書きづらい。いろいろ気にすることが多いので）
例えばNo.5の回答も途中で(2)の右辺=…＝○○、(2)の左辺＝…＝○○より(2)が成り立つ。という形でかいています。

変形の仕方は前回の回答に書いた通りです。手順はあれで全てなので、とりあえず手を動かせば答えは出てくると思います。
参考になれば幸いです。

補足

三角形OABの外接円ではなく正七角形ABCDEFGの外接円だから正弦定理が成り立たないのは分かりました
ただ、No.5さんも「1/sin2α+1/sin3α=1/sinαを示す」と言っていますがこれはどういうことでしょうか？正弦定理が成り立たないならこれを示すこと自体破綻してると思うのですが
またα=π/7はどこからでてきたのでしょうか？

回答No.6

staratras

No.5です。訂正します。失礼しました。

誤　（和→差の公式を使いました）
正　（和→積の公式を使いました）

回答No.5

staratras

この問題を解くには、大きく分けるとご質問のように三角関数を使う方法と、三角関数を使わないで初等幾何を使う方法があります。

三角関数ではご質問の1/sin2α+1/sin3α=1/sinα…(1)　を示すことになります。ただしα=π/7 です。（2π/7ではない）

この(1)の式はαがどんな角でも成り立つわけではなく(例えばα=π/6を代入してみてください。成り立ちません）、α=π/7のときに限って成り立つ式です。だから、2倍角や3倍角の公式を使って変形するだけでは（α=π/7を生かせなければ）ゴールにはたどり着けません。

(1) を変形すると　sin2αsin3α=sinα(sin2α+sin3α)…(2) ですので、これを示します。
(2)の右辺=sin(π/7)(2sin(5/14π)cos(-π/14))　（和→差の公式を使いました）
ここでsin(5/14π)=sin(7/14-2/14)π=sin(π/2-π/7)=cos(π/7)、cos(-π/14)=cos(π/14)だから
(2)の右辺=２sin(π/7)cos(π/7)cos(π/14)=sin(2π/7)cos(π/14) (2倍角の公式を使いました）
(2)の左辺=sin(2π/7)sin(3π/7)=sin(2π/7)sin(6π/14)=sin(2π/7)sin(7π/14-π/14)π=sin(2π/7)sin(π/2-π/14)=sin(2π/7)cos(π/14)

したがって(2)が成り立つので、(1)も成り立つ。

ところで、円に内接する四角形の性質(トレミーの定理)を使って、この問題を解くこともできます。
円に内接する四角形ABCDに関しては、対辺どうしの積の和が対角線の積に等しい(AB・CD+BC・DA=AC・BD)というトレミーの定理が成り立ちます。

添付した図は円に内接する正七角形ABCDEFGを示しています。
ここで円に内接する四角形ABDGにおいて、この定理からAB・DG+BD・GA=AD・BG　…(3)

図の対称性などからDG=AD,BD=AC,GA=AB,BG=AC が成り立つので、(3)に代入すると
AB・AD+AB・AC=AC・AD
AB(AD+AC)=AC・AD
AC・AD/(AD+AC)=AB
逆数をとると
(AD+AC)/(AC・AD)=AD/(AC・AD)+AC/(AC・AD)=1/AC+1/AD=1/AB

補足

何故αがπ/7なのでしょうか？点Oの回り360゜と正七角形の角を繋いだら7分割されて2π/7になると思うのですが

回答No.4

stomachman

あ。ANo.2 最後の１行も消し忘れでした。どうもイカンなー。θ=π/7だからこそFDがBを通ってくれるんですよね。

補足

θ=π/7とはどういうことですか？点Oと正七角形の角繋いで7分割したら2π/7になると思うのですが、他になにかあるのでしょうか？