三角関数について

質問

cosθ=-2+√6/2のときsin^4+3sin^2+1/4を求めよ。

sinα+cosβ=√2,cosαsinβ=-√2のときsin(α+β)とα,βの値を求めよ。

最初の問題は倍角の公式を使えばいいのでしょうか？途中計算から教えていただけると嬉しいです。

２番目の問題は、両辺を二乗して計算したらsin(α+β)=1と求まったのですが、αとβの値がわかりません。解き方のヒントを下さい。お願いします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

方針は同じとして、
　cos^2θ=(5-2√6)/2より、sin^2θ=1-cos^2θ=(2√6-3)/2、
　よって、sin^4θ=(33-12√6)/4。
　これらを代入です。

　cosβ=√2-sinα、sinβ=-√2-cosαをsin(α+β)に代入すれば
　√2sinα-√2cosα-(sin^2α+cos^2α)=1
　√2sinα-√2cosα=2
　合成して、2sin(α-π/4)=2→sin(α-π/4)=1、よって・・

お礼

ありがとうございます。
解けました!!

回答No.1

debut

分数の形がいまいちはっきりしませんが、
cosθ＝－２＋(√６/２)と読み取ります。
また、sin^4+3sin^2+1/4 は(sinθ)^4+3(sinθ)^2+(1/4)
ということと読み取ります。
(cosθ)^2=(11/2)-2√6で、1-(sinθ)^2に等しいから
(sinθ)^2=2√6-(9/2)を代入してください。

２番目は、両辺を２乗して・・・とあるので、
もしかして、cosαsinβ＝－√２というのは、cosα＋sinβ=-√2
なのでしょうか。
それなら、sin(α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ=1に
cosβ=√2-sinα、sinβ=-√2-cosαを代入すれば、合成する
ことによってαが求められますが・・・
（cosαsinβ＝－√２が正しいならば、無視してください）

お礼

わかりにくくてごめんなさい。cosθ=-2+√6/2は、全体に/2がかかってます。
あと、cosα＋sinβ=-√2の間違いでした…

回答ありがとうございました!!