tanhの加法公式

質問

tanh(x+y)の加法公式をsinとcosの加法定理を用いずに、eを用いて証明したいんですがどうすればいいでしょうか？

回答No.2

yhposolihp

×

sinh(A+B)=sinhAcoshB+coshAsinhB
cosh(A+B)=coshAcoshB+sinhAsinhB
tanh(A+B)
=[sinh(A+B)]/[cosh(A+B)]
=[sinhAcoshB+coshAsinhB]/[coshAcoshB+sinhAsinhB]
=[(sinhA/coshA)+(sinhB/coshB)]/[1+(sinhA/coshA)(sinhB/coshB)]
=[tanhA+tanhB]/[1+tanhAtanhB]

-----------
○

tanh(A+B)

　　　　(e^(A+B))-(e^-(A+B))
=　　　―――――――――
　　　　(e^(A+B))+(e^-(A+B))

[tanhA+tanhB]/[1+tanhAtanhB]

　[{((e^A)-(e^-A))/((e^A))+(e^-A))}+{((e^B)-(e^-B))/((e^B))+(e^-B))}]
=　　　　―――――――――――――――――――――
[1+{((e^A)-(e^-A))/((e^A))+(e^-A))}{((e^B)-(e^-B))/((e^B))+(e^-B))}]

　[{((e^A)-(e^-A))((e^B)+(e^-B))+((e^A))+(e^-A))((e^B))-(e^-B))}
　　　　　　　　/{((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))}]
=　　　　　―――――――――――――――――――――
　[((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))+((e^A)-(e^-A))((e^B)-(e^-B))]
　　　　　　　　/{((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))}]

　((e^A)-(e^-A))((e^B)+(e^-B))+((e^A))+(e^-A))((e^B))-(e^-B))
=　　　　　―――――――――――――――――――――
　((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))+((e^A)-(e^-A))((e^B)-(e^-B))

　　　2[(e^(A+B))-(e^-(A+B))]
=―――――――――――――
　　　2[(e^(A+B))+(e^-(A+B))]

∴
　tanh(A+B)=[tanhA+tanhB]/[1+tanhAtanhB]　　。

回答No.1

ddgddddddd

coshとsinhの加法定理を使えばいいだけですが