正七角形の問題

質問

正七角形ABCDEFGについて、1/AC+1/AD=1/ABが成り立つことを証明せよ

外接円の中心をOとしたとき∠AOB=2π/7でこれをαとおくと∠AOC=2α、∠AOD=3α
正弦定理よりAB=2Rsinα
AC=2Rsin2α
AD=2Rsin3α これらを最初の式に代入して
1/2Rsin2α+1/2Rsin3α=1/2Rsinα
1/sin2α+1/sin3α=1/sinα
sinαsin3α+sinαsin2α=sin2αsin3α
これを示すまではよかったのですが
sinα(sin3α+sin2α)=sin2αsin3α
2、3倍角の公式で
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sin2αsin3α
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sin(α+α)sin3α
加法定理より
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sinαcosαsin3α+cosαsinαsin3α
両辺をsinαで割ると
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=cosαsin3α+cosαsin3α
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=2cosαsin3α
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=2cosα(sin3α)
3倍角の公式より
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
sin3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
sin(2α+α)+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
加法定理より
sin2αcosα+cos2αsinα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
二倍角の公式より
2sinαcos^2α+sinα-2sin^3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
両辺sinαで割って
2cos^2α+1-2sin^2α+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
二倍角の公式より
2cos^2α+cos2α+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
2cos^2α+2cos^2α-1+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
4cos^2α-1+2cosα=2cosα(3-4sin^2α)
で詰まりました
どうすればいいでしょうか？

回答No.13

staratras · ベストアンサー

No.5&No.10です。No.7と10の補足にある、以下のご質問について少し説明させてください。

>円周角の定理から
∠AGB=∠AOB / 2が分かりません 円周角の定理は三角形の底辺の真ん中辺りから小さい三角形を取った形に使うんじゃないんですか？

≫△AGBの話なのになぜ∠AOBが出てきたのかも分かりません、∠BOGの方が関係がありそうに見えます なぜか教えてください

添付した図で円周角(水色）はすべて中心角（濃い青色）の1/2です。これが円周角の定理です。この円周角の定理から∠AGB=∠AOB / 2　です

∠AOB=2π/7　なので　∠AGB=π/7 です。　三角形AGBはOを中心とする円に内接します(逆にいうと三角形AGBの外接円がOを中心とする円）ですので
正弦定理から　AB/sin(π/7）=2R が成り立ちます。単位円で考えれば　AB/sin(π/7）=2です。

お礼

ABOGの外接円を書き、ABを弧と見るまで分からないですねこれ・・・
この発想にたどり着くことが凄いと思います
やっと分かりました ありがとうございました

回答No.3

stomachman

ANo.2 ありゃん？　文字が表示されない。貼り直してみます。

回答No.2

stomachman

直線ACを対称軸とする点Bの鏡像を点B'とします。
　　θ = ∠BAC
　　a = |AB|, b = |AC|, c = |AD|
と書く事にし、さらに
　　K = (1/2) sinθ
とすると、
　　S(△ACD) = Kbc　（黄色で示す部分）
また、
　　|B'C| = a
だから
　　S(△ACB') = Kab　（ドットで示す部分）
さらに、B'を通りCDと平行な直線（緑）と、Dを中心としてAを通る円（赤）との交点をFとすると、
　　|FD| = c, |CD| = a
なので
　　S(△CDF) = Kac （青ハッチの部分）
また、
　　S(△CDB') = S(△CDF)　（∵底辺の長さと高さが同じ）
であるから、
　　S(△ACD) = S(△ACB') + S(△CDB')
　　 = S(△ACB') + S(△CDF)
従って、
　　Kbc = Kab + Kac
つまり
　　1/a = 1/b + 1/c

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お礼

面積を使う方法は新しいです ありがとうございます

回答No.1

Kules

つい最近これとそっくりな問題を見たな～まさか同一人物じゃないですよね？

さて、いくつかアドバイスを。
・まさかですけど、△OABで正弦定理使ってますか？三角OABは円に内接していないのでその半径Rも使えないです。
ただ、中心角は円周角の２倍なので、知らないαが2π/7ではなくπ/7だと思ってやるとそのあとの式は問題ないでしょう。
・○○＝△△を証明せよ。という問題で、○○＝△△を変形していくという書き方はあまりよろしくないです。
○○＝□□＝☆☆＝…＝△△とするか、○○－△△＝…＝０とするのがいいでしょう。
・途中の式変形でループおこしてしまっているのがわかりますか？
例えば一番最初に2,3倍角の公式で最初のsin3αを変形しているのに、だいぶ後（sinαで割ったあと）の「３倍角の公式より」の部分で3sinα-4sin^3αをsin3αに戻してしまってますね。
式変形をしていく時は、（よっぽど先が見えていない限りは）何らかの信念を持ってするのがよいです。例えば、角度の中身は2αや3αになってもいいから、次数を落としていく、とか。あるいは、次数が上がってもいいから角度は全てαにする、とか。
そのようにすると漏れやループが起きにくいです。
今回のやり方だとループを起こしてたりするので何か途中で項が増えてる気が…結構複雑な式なんで確実ではないですが。

で、三角比（三角関数）の公式は２倍角や３倍角だけじゃないですよね？
・三角比の相互関係
・和⇔積変換
・半角の公式
・π/2絡み、π絡みの変形
この辺りを使うことももっと考えましょう。
特に積→和と半角の公式は次数を下げることができるのでお勧めです。

例えばあなたがつまったところから三角比の相互関係（sin^2α＋cos^2α=1）を使って変形するとcosの3次式に変形できることがわかりますか？
ただ、この問題の場合cosの３次式を作っても意味がないんです。理由は「cosの3次式を作っても、α=2π/7であることをいかせないから」。3次式を作ると因数分解をしたくなりますが（ならない？）、因数分解したところでcos2π/7の値を知らない以上因数分解した式が0に出来ないですよね。

ということで（？）、今回の問題で大事なことはα=2π/7であることを如何に利用するか、ということになります。
そう考えると、π/2絡みの変形やπ絡みの変形がよさそうだ、ということがわかります。
例えばπ/2-π/7=5π/14のようにπ/2から引くと分母が必ず14になる一方、π/2-9π/14=-π/7のように、分母が14ならπ/2から引けば必ず分母は７になります。
だからなんだって思うかもしれませんが、和積の変換は角度を「足して２で割る」「引いて２で割る」の作業が入るため、分母が7のものを14にしたり14のものを7にしたり出来る変形があるってのは嬉しいことなんですね。

ちなみにで言えば、私は
左辺を通分→分子を和積変換→cosの方をcosθ=sin(π/2-θ)で変形→約分→分母に倍角の定理→分子のsinをsinθ=cos(π/2-θ)で変形→約分で左辺になりました。

参考になれば幸いです。

補足

△OABは内接してませんか？OA=OB=半径でABより弧の方が外にありますから内接してると思ったのですが

中心角がπ/7じゃおかしくないですか？360゜を7つの辺で7分割したのだから∠AOBは2π/7だと思うのですが

左辺と右辺を変更しちゃダメなんですね ただ左辺をどうしたら右辺に近づくか分からないです