正七角形ABCDEFG

質問

正七角形ABCDEFGについて、1/AC+1/AD=1/ABが成り立つことを証明せよ

はじめはどう解くのでしょうか？

回答No.6

B-juggler

Ｎｏ．５です。連投かな？

いや、図は浮かぶ。それはみんな一緒。

だけどそこから先！

どうやってどう証明しよう、どの長さがどうなる？

その三角形とどの三角形が相似（この場合は多分合同）とか、

そういうことを、図なしでいけるか？

そういう話。

それなら、最初に質問する人が絵を書いておいてくれれば、

回答する人が書く必要もないでしょう？

教えてもらう側が、教えさせてもらう側に手間を取らせる・・・。

こういうことは、頭下げて聞くのだから、手間を惜しんじゃダメよ！　ってこと。

だから、ここでは、σ(・・*)に絵を書かせることになるわけね。

自分で分かろうとしていないんじゃないかって見えるんだ・・・。

損してるんだよ？　早く気がつこうね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

すみません、解答して下さるのは嬉しいのですが「自分で分かろうとしていないんじゃないかって見えるんだ・・・。」「早く気がつこうね。」というのが「配慮に欠ける回答
過度に質問者の非や欠点をあげつらって非難・詰問・罵倒あるいは貶めるような表現での配慮に欠けると判断された回答」に当たると感じるのでやめて頂きたいです 回答者の方が立場が上かもしれないのですが、マナー違反はマナー違反ですので

添付図についてですが、私の書いた図は汚くて七角形に見えない上、携帯からで画質も悪く貼るに足らないと判断しました その結果丁寧に解答してくださった人がいたのでよかったですが、確かに解答者に手間をかけさせない方が解答が集まりますので気を付けたいと思います

回答No.5

B-juggler

こういうのは、手間を惜しんでいては先に進みません。

絵を書こうよ。添付するくらいは、雑作もないでしょう？

それすら面倒？　そういう考え方は辞めた方がいいね・・・。

何から手をつけていいのか分からないということだと思うのですよ。

だから、補助線とか考えるよりも、まず絵を描く！

そうしないから、中心角が３６０°とか書いちゃうんです。

正７角形でしょう？　１つの辺について　今仮に辺ＡＢ　としますが

　＃隣り合う角についての辺ね。

このとき　中心Ｏ　とのなす角　∠ＡＯＢ＝２π　／７　になるのは

絵を描けば一発。

こういうところから考えていった方がいいんじゃないかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

絵なら問題を見た瞬間に書きましたが…
中心角というより∠AOBについてはありがとうございました

回答No.4

Kules

再びKulesです。
初等幾何ですか！それはなかなか…

じゃあ、
1/AC+1/AD=1/AB
がゴールということから、両辺にAC*AD*ABを掛けると
AB*AD+AB*AC=AC*AD
となります。
で、「２つの長さを掛けたものが、別の二つの長さを掛けたものの和になっている」という式から
「トレミーの定理」にたどりつければしめたもので、
正七角形の頂点を結んだ長さは３種類しかない（隣り合うもの、一つ飛ばし、二つ飛ばし。）から、
AB*AD+AB*AC=AC*AD
を眺めながらAC、ADと同じ長さを対角線にもち、AB,AD,AB,ACと同じ長さを各辺に持つ内接四角形を作ってやればいいかな、と。
もちろんトレミーの定理の証明は必要ですけど。
（私もノーヒントで思いついたわけではなく、ネットでいろいろ検索してたら見つけただけです）
思いつかなかった時は…まあそれでも等しい角度は図の中にてんこ盛り
（例えば、正七角形の内角と、AC,BDの交点で出来る角度の一つ、とか）
なので、二角相等を乱発して相似の式からどうにか持っていけばいいかな、と。
まあ計算を始める前に「正七角形の頂点を結んだ３種類の長さ」を文字でおいておく
（隣り合うものをx、一つ飛ばしをy、二つ飛ばしをz）と、
AB*AD+AB*AC=AC*AD
はa*c+a*b=b*c
となるので、そのような式になるよう図形を見ていけばいいのではないでしょうか。

参考になれば幸いです。

お礼

参考になりました ありがとうございました!

回答No.3

naniwacchi

#2です。
ストレートに問題だけなので、背景が見えないのですが・・・
これは何年生（どういった人を対象とした）問題ですか？

「解く」「証明する」ということであれば、
高校数学の三角比を用いるのがもっとも無難な方法だと思います。

「初等幾何だけで解ける」とのことですが、そうだとしても
AB×（AD＋AC）＝AC×AD

を示すことになると思います。

お礼

三角比が一番ですか 分かりました
ありがとうございました

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
ヒントなしで。となると結構難問になりますね。
やはり #1さんが書かれているように、
中心角をα＝2π/7とでも置いて考えていくことになりますね。

実は過去に同じ質問がありました。
それは「ヒントあり」の問題になっています。
ご参考まで。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5212852.html

お礼

中心角は360゜じゃないですか？

補足

ちなみに同じ質問はどれでしょうか？
探したところ「問題）正七角形ＡＢＣＤＥＦＧでＡＢ＝ｘ，AC=ｙ，AE=ｚとする。このとき，１/ｙ＋１/ｚをｘの式で表せ。」という似た名前のものしか見つかりませんでした

回答No.1

Kules

はじめは…ですか？試行錯誤をどのようにするか、という話でしょうか？

1.図を描く
2.角度とかを書きこんでいく
3.どこかの長さを文字でおいて、他の部分の長さをその文字を使って表してみる
4.AC,AD,ABが一つの文字の式で表せているので、与えられた式が成り立つかごりごり計算してみる

3.がうまくいかないようだと、
3'.何か別のパラメータを用いて、AB,AC,ADをそのパラメータを用いて表してみる
に変えてみる、とかですかね。あるいは、
3''.何かの関係式をAB,AC,ADで表す（例えば面積とか。別の部分の長さとか）3'の共通パラメータを探すのとは逆のイメージですね。例えば１つのものを２通りの表し方をしてみるとか。

で、4.の「ごりごり」の部分ですが、2.の角度がヒントになりそうなら三角比が出てくるでしょうし、
三角比相手ならいろいろな道具が考えられますね。
・加法定理
・倍角の公式
・半角の公式
・和⇔積変換
・三角比の相互関係
・sin,cos,tanの中身がπ±θ、π/2±θなどの時どのように変換されるか
・正弦定理
・余弦定理
・etc...

なんてことを考えながら手を動かしていくと、ひょんなところで答えが出てくるかも。
出てこないかも知れませんが、本当の解答にたどりつくヒントは見つかるかも知れません。

ちなみに最良の手法かはわかりませんが、私の場合
3'.正七角形の外接円の半径Rを使ってAB,AC,ADを表す
と、
・和⇔積変換
・sin,cos,tanの中身がπ±θ、π/2±θなどの時どのように変換されるか
・倍角の公式
を使ってごりごり式変形をすると証明できました。

とにかく手を動かしてみましょう。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます

補足

これは初等幾何だけで解けるのですが、補助線を引くポイントはないでしょうか？