三倍角の定理の証明

質問

三倍角の証明がわかりません。加法定理と２倍角の公式をつかうことまではわかりますが・・・。教えてください。

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

例えば、
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
={cos^2(x)-sin^2(x)}cosx-{2sinxcosx}sinx
=cos^3(x)-3sin^2(x)cosx
=cos^3(x)-3{1-cos^2(x)}cosx
=cos^3(x)-3cosx+3cos^3(x)
=4cos^(x)-3cosx
これ以外にも複素数を利用して証明することもできます。

回答No.4

zabuzaburo

んじゃ複素数でやっときましょか。
まだ習ってないなら、いつか見返してもらえることを願って(^^;)

ド・モアブルの定理から
cos3θ + isin3θ = (cosθ + isinθ)^3……(#)
右辺を展開すると
(cosθ)^3 + 3(cosθ)^2(isinθ) + 3(cosθ)(isinθ)^2 + (isinθ)^3
i^2 = -1, i^3 = -iに注意して
(cosθ)^3 + i[3(cosθ)^2(sinθ)] - 3(cosθ)(sinθ)^2 - i[(sinθ)^3]
iのない部分(実部)とiのある部分(虚部)に分けてまとめると
[(cosθ)^3 - 3(cosθ)(sinθ)^2] + i[3(cosθ)^2(sinθ) - (sinθ)^3]
これが(#)の左辺に等しいことから、実部と虚部をそれぞれ比較して
cos3θ = (cosθ)^3 - 3(cosθ)(sinθ)^2……(c)
sin3θ = 3(cosθ)^2(sinθ) - (sinθ)^3……(s)
これは立派な「3倍角の公式」ですが、さらに
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1をもちいて
(c)の「(sinθ)^2」を「1 - (cosθ)^2」に、
(s)の「(cosθ)^2」を「1 - (sinθ)^2」に置きかえれば、
「サインはサインだけで、コサインはコサインだけで」
書くことができ、世に言う「3倍角の公式」ができあがります。

回答No.3

siegmund

sin(3x) = sin(x+2x)
　　　　= sin(x) cos(2x) + cos(x) sin(2x)
とします．
第１項の cos(2x) は sin(x)で書けますね．
また，第２項は sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) を使って，
現れる cos^2(x) を sin(x) を使って表現すればＯＫです．
結局，cos は全部 sin(x) で書き換えられて，
あとは整理するだけです．

cos(3x) もほぼ同様の方針でできます．

回答No.1

oshiete_goo

加法定理より
sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ
これに2倍角の公式を使って, 最終的にはすべてsinθで書く.
cos3θも同様(ただしcosθのみで表す).
という方針でやってみてはどうでしょう.
tan3θも同様.