- ベストアンサー
積分・漸化式
In= ∫ dx / (x^2 + 1)^n と与えられています。 これを漸化式で表すときの途中式で・・・ 1/(x^2 + 1)^n = {1/(x^2 + 1)^(n-1)} - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} と変形できるのは分かりました。ここから・・・ In=I(n-1) -[ { -x/2(n-1)(x^2 +1)^(n-1)} + {1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)} ] への変形の仕方が分かりません。 おねがいします。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。 これって、I(n-1)の部分でなくて、一番最後の"+{1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}" の 部分だったんですね。#2での回答は見当違いでした。すいませんでした。そのお詫びに遅くなってしまいましたが、後半の部分積分の方を。 f(x)=x/2、g'(x)= {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} とおきます。すると、 f'(x)=1/2、g(x)=-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)} となります。 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx に上のf(x),g(x),f'(x),g'(x)を代入して、整理すると、 ∫(x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} dx ={(x/2)*[-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}] -∫[(1/2)*{-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}]dx ={ -x/2(n-1)(x^2 +1)^(n-1)} + {1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}
その他の回答 (2)
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
>{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。 えぇと、難しく考えすぎてません? 1/(x^2 + 1)^n =”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} これをxで積分すると、右辺の最初の項(”と”の間)に {∫dx/(x^2+1)^(n-1)}=I(n-1)が出てきますね。 あとは、右辺の残りの部分を積分すれば、求める式が導けると思います。
補足
>1/(x^2 + 1)^n =”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} えーっと、こっちから出てくるのは分かります。 問題は後半の方から出てくるヤツの出し方が分からないんです。 おねがいします。
- HOGERA3
- ベストアンサー率35% (50/139)
>1/(x^2 + 1)^n = {1/(x^2 + 1)^(n-1)} - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} の両辺をxで積分したら In = I(n-1) - ∫[...]dx ですよね。 そしたら右辺の第2項を部分積分すればいいんじゃないでしょうか。 なんとなくそう思っただけ(未確認)ですので間違っているかもしれません。
補足
恐らく積分をすると思うのですが、 {∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。 どのように積分すればイイのでしょうか?
お礼
部分積分ですか。 ていねいに最後までありがとうございます。 どうもありがとうございました。