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積分・漸化式

In= ∫ dx / (x^2 + 1)^n と与えられています。 これを漸化式で表すときの途中式で・・・ 1/(x^2 + 1)^n = {1/(x^2 + 1)^(n-1)} - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} と変形できるのは分かりました。ここから・・・ In=I(n-1) -[ { -x/2(n-1)(x^2 +1)^(n-1)} + {1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)} ] への変形の仕方が分かりません。 おねがいします。

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  • eatern27
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回答No.3

>{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。 これって、I(n-1)の部分でなくて、一番最後の"+{1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}" の 部分だったんですね。#2での回答は見当違いでした。すいませんでした。そのお詫びに遅くなってしまいましたが、後半の部分積分の方を。 f(x)=x/2、g'(x)= {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} とおきます。すると、 f'(x)=1/2、g(x)=-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)} となります。 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx に上のf(x),g(x),f'(x),g'(x)を代入して、整理すると、 ∫(x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} dx ={(x/2)*[-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}] -∫[(1/2)*{-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}]dx ={ -x/2(n-1)(x^2 +1)^(n-1)} + {1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}

Lone07
質問者

お礼

部分積分ですか。 ていねいに最後までありがとうございます。 どうもありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • eatern27
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回答No.2

>{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。 えぇと、難しく考えすぎてません? 1/(x^2 + 1)^n =”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} これをxで積分すると、右辺の最初の項(”と”の間)に {∫dx/(x^2+1)^(n-1)}=I(n-1)が出てきますね。 あとは、右辺の残りの部分を積分すれば、求める式が導けると思います。

Lone07
質問者

補足

>1/(x^2 + 1)^n =”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} えーっと、こっちから出てくるのは分かります。 問題は後半の方から出てくるヤツの出し方が分からないんです。 おねがいします。

  • HOGERA3
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回答No.1

>1/(x^2 + 1)^n = {1/(x^2 + 1)^(n-1)} - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} の両辺をxで積分したら In = I(n-1) - ∫[...]dx ですよね。 そしたら右辺の第2項を部分積分すればいいんじゃないでしょうか。 なんとなくそう思っただけ(未確認)ですので間違っているかもしれません。

Lone07
質問者

補足

恐らく積分をすると思うのですが、 {∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。 どのように積分すればイイのでしょうか?

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