微積 漸化式です

質問

n≠1
In=∫｛x/｛x^(n+1)√(1-x^2)｝｝dx　を考えることにより

∫｛1/(x^n　√(1-x^2))｝dx

= -1/(n-1) +｛(1-x^2)^1/2｝/x^(n-1) + ｛(n-2)/(n-1)｝∫｛1/｛x^(n-2)√(1-x^2)｝｝dx
が成立することを証明せよ

自分でやってみるんですが、どうしても途中で計算がちがってきます。
よろしくお願いします。

回答No.1

ItachiMasamune · ベストアンサー

{√(1-x^2)}’=-x/√(1-x^2)ですから、
I_(n-2)=∫{1/x^(n-1)}・{x/√(1-x^2)}dx
=-∫{1/x^(n-1)}・{√(1-x^2)}’dx
部分積分して、
=-{√(1-x^2)}/{x^(n-1)} - (n-1)∫{√(1-x^2)}/{x^n}dx

ここで、I_n - I_(n-2)=∫{√(1-x^2)}/{x^n}dx だから、代入すれば、
I_(n-2)=-{√(1-x^2)}/{x^(n-1)} - (n-1){I_n - I_(n-2)}
あとは分かるでしょう。