不定積分と漸化式の証明

質問

時間がある方、説いていただければ幸いです。

　 In＝∫eのax乗sinbxdx (aの２乗＋ｂの２乗≠０) ｛不定積分｝

In＝∫(logx)のｎ乗dx とおくとき、In=x(logx)のn乗－ｎI n-1 の漸化式が成り立つことを証明せよ

　の２門です。

　お願いします。

回答No.2

noboundly · ベストアンサー

In＝∫e^ax sinbx dx
=∫(e^ax/a)'sinbx dx
=e^ax/a sinbx-b/a∫e^ax cosbx dx
=e^ax/a sinbx-b/a{e^ax/a cosbx+b/a∫e^ax sinbx dx}
=e^ax/a sinbx-be^ax/a^2 cosbx-b^2/a^2 In
(1+b^2/a^2)In=(e^ax/a)(sinbx-bcosbx/a)
よって In=ae^ax(sinbx-bcosbx/a)/(a^2+b^2)+C(Cは積分定数）・・・答

In=∫(logx)^n dx
=∫x'(logx)^n dx
=x(logx)^n-∫xn(logx)^(n-1)×1/x dx
=x(logx)^n-n∫(logx)^(n-1) dx
=x(logx)^n-nIn-1
　　　　　　　　　　　　　　証明終

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

ぶぶんせきぶん