積分漸化式

質問

(１)∫x^(n/2)/(x(1-x))^(1/2)dx　（0→1）
（２）∫x^(2n-1)e^(-x^2)dx　　　（0→＋∞）
（３）∫(1-x^2)^ndx　　　　　　　（0→１）
いずれも漸化式がたれらそうでたてられません。まず（１）に関しては部分積分を使ってみましたがなにが積分されるほうで、なにが微分するほうか分からないのです。（２）に関してはx＾2をｔとおけば有名なガンマ関数になりました。けど解けません。

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

(1)は(1-x)^(-1/2)を積分すると-2(1-x)^(1/2)となることを使います。部分積分してできた積分の中の(1-x)^(1/2)は
(1-x)^(1/2)=(1-x)/(1-x)^(1/2)=(1-x)^(-1/2)-x(1-x)^(-1/2)
と分解すると元の積分と似た形に変形できます。
不定積分をJ(n)とすると
n J(n)=-2x^((n-1)/2)(1-x)^(1/2)+(n-1)J(n-2)
となりますが、右辺第１項はxが0と1のときには0になるので定積分ではなくなります。これでnを2減らせます。
(2)ガンマ関数は部分積分すると有名な公式
Γ(n+1)=nΓ(n)
となります。Γ(1)=1なのでΓ(n+1)=n!です。e^(-t)の方を積分です。

(3)は1が掛かっていると思って1を積分する部分積分をします。
出てきた積分の中で
x^2=-(1-x^2)+1
と変形すると漸化式ができます。

補足

(1)(3)に感動した。ｗ