不定積分の漸化式表現

質問

(1)Ｊn＝∫ｘ(logｘ)^n dxとするときＪnをＪ(n-1)を用いて表す。
(2)Ｉn＝∫cos^n (ｘ)　dxとするときＩnをＩ(n-2)を用いて表す。

部分積分を繰り返していくのだと思うのですが、上手く条件の形にもっていけません。どなたか分かる方ご教示願います。（正月早々申し訳ありませんが…）

回答No.1

zetafunction · ベストアンサー

(1)
J(n)
=∫x(log x)^n dx
=∫((x^2)/2)'(log x)^n dx
=((x^2)(log x)^n)/2 - ∫((x^2)/2)n((log x)^(n-1))(1/x) dx
=((x^2)(log x)^n)/2 - (n/2)J(n-1)

(2)
I(n)
=∫(cos x)^n dx
=∫((cos x)^(n-1))(cos x) dx
=∫((cos x)^(n-1))(sin x)' dx
=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)∫((cos x)^(n-2))(sin x)^2 dx
=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)∫((cos x)^(n-2))(1-(cos x)^2) dx
=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)
より,
nI(n)=((cos x)^(n-1))(sin x)+(n-1)I(n-2)

お礼

ありがとうございます。自分でも一度やってみようと思います。