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I_(n)=∫x^n/√(x^2+a^2)dxの漸化式の求め方
I_(n)=∫x^n/√(x^2+a^2)dxの漸化式の求め方 この積分の漸化式は I_(n)=x^(n-1)√(x^2+a^2)/n - a^2(n-1)I_(n-2)/n となります この式の求め方がわかりません 誰か教えてください お願いします
- hitoyo_tokikuu
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I[n]=∫{x^n/√(x^2+a^2)}dx =x^(n-1)・√(x^2+a^2)－(n-1)∫{x^(n-2)・(x^2+a^2)/√(x^2+a^2)}dx =x^(n-1)・√(x^2+a^2)－(n-1)∫{x^n/√(x^2+a^2)}dx - a^2・(n-1)∫{x^(n-2)/√(x^2+a^2)}dx =x^(n-1)・√(x^2+a^2)－(n-1)・I[n] - a^2・(n-1)・I[n-2] ∴n・I[n] = x^(n-1)・√(x^2+a^2) - a^2・(n-1)・I[n-2] I[n] = (x^(n-1)・√(x^2+a^2) - a^2・(n-1)・I[n-2])/n
