定積分と不等式

質問

n=0,1,2,…に対して、In=∫[0→1]x^(2n)/(1+x^2)dxとおく。次を示せ。

(1)I(n+1)=1/(2n+1)-In

(2)In=(-1)^n{π/4-Σ[k=0→n-1](-1)^k/(2k+1)　　　(n=1,2,3,…)

(3)Inの定義式より、不等式1/2(2n+1)<In<1/(2n+1)が成り立つ。

この問題(金沢大　1999年)が分かりません。
簡単な解答でも結構ですので、途中の計算を教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#126309

訂正
このときx=0のみ等号が成立。(誤)

→x=0,1のみ等号が成立

回答No.1

noname#126309

(1),(2)は自分で手を動かして計算するしかない。(3)だけ(1)を使った方法で書いておく。
正直(3)を示すためには以下手段が一番簡単なのではないかと思う。(この方法がこの問題で求められているかどうか分からんが)
x^(2n)/(1+x^2)　は[0,1]で非負な連続関数(x=0以外は正をとる)より全てのn=1,2,・・・に対し
I(n)>0

(1)よりI(n)<1/(2n＋1) ・・・・・(ア)

さらに0≦x≦1であるから　　x^(2n＋2)/(1+x^2)≦x^(2n)/(1+x^2)
が成立する。このときx=0のみ等号が成立。
すなわち積分を両辺にとって
I(n＋1)<I(n)となるから　1/(2n＋1)=I(n＋1)＋I(n)<2I(n)
つまり　I(n)>1/2(2n＋1)　・・・・・(イ)

(ア)と(イ)
より1/2(2n+1)<In<1/(2n+1)

補足

すいません、(1)の自力で計算というのは、与式にn=n+1を代入するということでしょうか？

やってみたのですが、計算できなくて困っています。