漸化式

質問

Ｉ(n)=2n/(n+5) I(n-1)
の漸化式が解けません。

Ｉ（０）まで下ろすのはわかります。で、自信満々で答えを見たらぜんぜん違いました。

答えは、３・ｎ！・２＾（２ｎ+８）/（ｎ+５）！

分母が、（n+5)！になるのは理解できるのですが、分子がなぜこうなるのかは理解に苦しみます。
なぜですか？？？

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

漸化式の変形は、A No.2 に書きました。
あとは、
I(0) = ∫[x=-1～1] (x-1)^4 dx
= [ (1/5)(x+1)^5 ][x=-1～1]
= (2^5)/5
= (2^5)(4・3・2)/(5・4・3・2・1)
= 3(2^8)/(5！)

お礼

回答ありがとうございました

回答No.3

alice_44

I(n) = ∫[x=-1～1] (x-1)^4 (x+1)^n dx であれば、
I(n) = 3(n！)2^(n+8)/(n+5)！ ですが？
「解説」自体が書き違えているのでは？

お礼

ごめんなさい。そのとおりです。
I(n) = 3(n！)2^(n+8)/(n+5)！これです。

解説できますか？

回答No.2

alice_44

私も、理解に苦しみますね。きっと、書き違いがあります。
I(n) = { (2n)(2n-2)(2n-4)…2 }/{ (n+5)(n+4)(n+3)…6 } I(0).
分子の (2n)(2n-2)(2n-4)…2 の各因子から 2 を括り出すと、
2^n が括り出せて、n(n-1)(n-2)…1 が残ります。
分母は { (n+5)(n+4)(n+3)…1 }/{ 5・4・3・2・1 } ですね。
I(n) = I(0)・(2^n)(n！)(5！)/{ (n+5)！ } となります。
I(0) の値を調整しても、I(n) = 3(n！)2^(2n+8)/(n+5)！ にはなりません。
I(n) = 3(n！)2^(n+8)/(n+5)！ なら、I(0) = 3(2^8)/(5！) かな。

お礼

回答ありがとうございました！

解説を見ましたが、やはり書き間違えはありませんね。すいません。
解説を出来るだけ多く書きますので、その解説をお願いしたいです

（ｘ－１）＾５＝（ｘ－１）＾４｛（（ｘ+１）－２｝として、

I(n)＝２ｎ/（ｎ+５）×２(n-1)/(n+4)×・・・・・・・×2・1/6 I(0)

ちなみにＩ(n)＝∫（－１→１）（ｘ－１）＾４（ｘ+１）＾ｎｄｘ（ｎは負でない整数）（読みにくくてすいません）と定義されています。書き忘れ、すいません。

回答No.1

partita

I(0)は何と与えられていますか？

私が計算したら
I(0)×（2^n・n!・5!）/(n+5)!
になっちゃいました。

お礼

回答ありがとうございました