不定積分と漸化式

質問

In＝∫1／(x^2+1)^n dx　(n=0,1,2,・・・・)　の漸化式を求めなさい。

という問題です。

解答のみしか分からず困っています。

【解】In+1=2n-1／2n *In + x／2n(x^2+1)^n (n≧1)

どなたか、解説よろしくお願いします！！

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問について

>>４→５行目の式変形が分かりません。
>ここが部分積分ですか？
その通りです。

>=∫1／(x^2+1)^n dx+∫ x*(-x)／(x^2+1)^(n+1) dx
>=In + x*(1/(2n))/(x^2+1)^n -(1/(2n))∫1/(x^2+1)^n dx

第一項は
In=∫1／(x^2+1)^n dx
そのものです。
第2項を部分積分します。
∫ x*(-x)／(x^2+1)^(n+1) dx
=x*(1/(2n))/(x^2+1)^n -(1/(2n))∫1/(x^2+1)^n dx

∫(-x)／(x^2+1)^(n+1) dx=(1/(2n))/(x^2+1)^n + C
であることは右辺を微分すれば被積分関数になる事から分かるでしょう。

お礼

追加も含めて、詳しい解説ありがとうございました！！

回答No.2

info22_

一寸、変形してから、#1さんのアドバイスにあるように部分積分を適用し、式を少し変形するだけ。自力で出来るようにチャンと式を追って理解するようにしてください。
ただ、眺めて丸写しするだけでは、質問者さんにとって何の役にも立たないですよ。

In+1=∫1／(x^2+1)^(n+1) dx (n≧1)
=∫(x^2+1-x^2)／(x^2+1)^(n+1) dx
=∫(x^2+1)／(x^2+1)^(n+1) dx-∫(x*x)／(x^2+1)^(n+1) dx
=∫1／(x^2+1)^n dx+∫ x*(-x)／(x^2+1)^(n+1) dx
=In + x*(1/(2n))/(x^2+1)^n -(1/(2n))∫1/(x^2+1)^n dx
=In{1-(1/(2n))} +x/{(2n)(x^2+1)^n} +C
={(2n-1)/(2n)}*In + x/{(2n)(x^2+1)^n} +C

補足

慣れてないもので・・・手間取っています。

４→５行目の式変形が分かりません。
ここが部分積分ですか？

=∫1／(x^2+1)^n dx+∫ x*(-x)／(x^2+1)^(n+1) dx
=In + x*(1/(2n))/(x^2+1)^n -(1/(2n))∫1/(x^2+1)^n dx

すみませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

「部分積分してみろ」という神の声が聞こえた気がする.