多次式

質問

以前に何度か同じ質問をしたのですが、理解できない部分がありましたので再度質問します(何が理解できなかったのかはその時の回答者様に転載の許可を貰ったわけではないので説明出来ません、ごめんなさい)

f(x)は5次の整式でx^5の係数は1である
f(x)がf(x^4)-7=(f(x)-7)^4をみたすならばf(x)はx^5+□x^4+□x^3+□x^2+□x+□である

この問題の解き方はなんでしょうか？なお、補足質問する可能性があるのでできたらその時はお答えして頂きたいです

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

以前回答をして，ご指摘を受け，間違っていたことに気づきました。次の日見たらもう「解決」になっていたので，申し訳ないと思っていました。あまりエレガントな解答でないのですが，以下のようにやり直してみました。

F(x)=f(x)-7とするとF(x^4)=(F(x))^4, F((-x)^4)=(F(-x))^4
(F(x))^4=(F(-x))^4　より
(F(x)^2 +F(-x)^2)(F(x)-F(-x))(F(x)+F(-x))=0
F(x)^2+F(-x)^2=0　だとF(x)=F(-x)=0で定数になり不適
F(x)=F(-x)だと偶関数になるがF(x)は奇数次なのでありえない。
よってF(x)=-F(-x)
F(x)は奇関数なのでa=0 , c=0 , e=7

F(x)=x^5 +bx^3 +dx
F(x^4)=x^20 +bx^12 +dx^4
x^20 +bx^12 +dx^4=(x^5 +bx^3 +dx)^4
x^4 (x^16 +bx^8 +d)=x^4 (x^4+bx^2+d)^4
x^16 +bx^8 +d= (x^4+bx^2+d)^4　…＊
この式でx=1より1+b+d=(1+b+d)^4
1+b+d=1 or 1+b+d=0
＊式で１次の項を比べてd=d^4
d=1 or d=0

d=0,b+d=0だとb=d=0でF(x)=ｘ＾５となり，F(x^4)=(F(x))^4を満たす。

d=0 , b+d=-1だとb=-1, d=0 で，F(x)=x^5-x^3となり，F(x^4)=(F(x))^4を満たさない。

d=1 , b+d=0だとb=-1 , d=1でF(x)=x^5-x^4+xとなり，F(x^4)=(F(x))^4を満たさない。

d=1 , b+d=-1だとb=-2 , d=1でF(x)=x^5-2x^3+xとなり，F(x^4)=(F(x))^4を満たさない。

以上よりF(x)=x^5
よってf(x)=x^5 +7

もとの式を満たす，満たさないの吟味の詳細は略しました。

お礼

前回は間違いだったんですね
今回の回答も含め、全て解決しました
ありがとうございました

補足

すみません、まだ解決してませんでした
(F(x))^4=(F(-x))^4　より
(F(x)^2 +F(-x)^2)(F(x)-F(-x))(F(x)+F(-x))=0
これは何故こうなったのでしょうか？

回答No.3

stomachman

f(x) = x^5 + 7
が恒等式
　　(f(x)-7)^4 - (f(x^4)-7) = 0　…(1)
を満たすのは明らか。問題は、他にこの恒等式を満たす多項式f(x)がないかどうかです。

g(x)を4次式
　　g(x) = Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E …(2)
として、
　　f(x) = x^5+7+g(x)
が恒等式(1)を満たすとしましょう。(1)に代入すると、
　　(x^5+g(x))^4 -x^20-g(x^4) = 0
である。第1項を二項展開すると、g(x)は恒等式
　　g(x)^4 + 4(g(x)^3)x^5 + 6(g(x)^2)x^10 + 4g(x)x^15 - g(x^4) = 0 …(3)
を満たすことが分かります。
　さて、(3)の各項について、g(x)に(2)を代入して展開したときの最高次数を考えると、g(x)^4は16次、4(g(x)^3)x^5は17次、6(g(x)^2)x^10は18次、4g(x)x^15は19次、-g(x^4)は16次。だから、19次の項は4g(x)x^15にだけ存在し、それは4Ax^19であるから、恒等式(3)を満たすためには
　　A=0
でなくてはならない。つまり
　　g(x) = Bx^3+Cx^2+Dx+E
　再び各項の最高次数を考えると、g(x)^4は12次、4(g(x)^3)x^5は14次、6(g(x)^2)x^10は16次、4g(x)x^15は18次、-g(x^4)は12次。だから、18次の項は4g(x)x^15にだけ存在し、それは4Bx^18であるから
　　B=0
つまり
　　g(x) = Cx^2+Dx+E
　またまた各項の最高次数を考えると、g(x)^4は8次、4(g(x)^3)x^5は11次、6(g(x)^2)x^10は14次、4g(x)x^15は17次、-g(x^4)は8次。だから、17次の項は4g(x)x^15にだけ存在し、それは4Cx^17であるから
　　C=0
つまり
　　g(x) = Dx+E
　しつこく各項の最高次数を考えると、g(x)^4は4次、4(g(x)^3)x^5は8次、6(g(x)^2)x^10は12次、4g(x)x^15は16次、-g(x^4)は4次。だから、16次の項は4g(x)x^15にだけ存在し、それは4Dx^16であるから
　　D=0
　　g(x) = E
　またしても各項の最高次数を考えると、g(x)^4は0次、4(g(x)^3)x^5は5次、6(g(x)^2)x^10は10次、4g(x)x^15は15次、- g(x^4)は0次。だから、15次の項は4g(x)x^15にだけ存在し、それは4Ex^15であるから
　　E=0
なのでg(x)は恒等式
　　g(x) = 0
を満たす。
　つまり、恒等式(1)を満たすのは
　　f(x) = x^5 + 7
だけ。

お礼

g(x)ては新しいです ありがとうございました

回答No.2

info22_

>f(x)がf(x^4)-7=(f(x)-7)^4をみたすならば
このことはxについての方程式
　f(x^4)-7=(f(x)-7)^4　...(★)
あるいは
　f(x^4)-7-(f(x)-7)^4＝0　...(☆)
が任意のxについて成立する。
つまり
xについての恒等式であることを意味します。
f(x)は
f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
の形と言うことなので
（★）または(☆)にf(x)を適用した
x^20+ax^16+bx^12+cx^8+dx^4+e-7=(x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-7)^4　　...(A)
または
　x^20+ax^16+bx^12+cx^8+dx^4+e-7-(x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-7)^4=0
...(B)
がxについての恒等式であることを使い、a,b,c,d,eを決定すれば良い。

(A)または(B)の左辺や右辺がxの多項式なので、
(A)または(B)がxの恒等式である為の必要十分条件は
xの各次の係数が左辺と右辺で全て等しいことである。
と言えます。
各次の係数同士が等しいことからx^20の係数については左辺と右辺で等しくなることは明らかなので、
x^19からx^0(=1)の係数について20個のa,b,c,d,eについての係数方程式が導かれます。変数はa,b,c,d,eの5個で方程式が20個ですから、
そのうちの5個の方程式を適当に選び、5個の連立方程式からa,b,c,d,eが求まるので、求めたa,b,c,d,eの組(a=b=c=d=0,e=7)に対し、(20-5)=15個の方程式が全て成立することを確認します(実際全て成立します)。
それによって、求めた(a,b,c,d,e)を(A),(B)に代入すれば(A),(B)が恒等式になります。
この時の(a,b,c,d,r)=(0,0,0,0,7)をf(x)の式に代入すればf(x)=x^5+7が得られます。

ということです。以上の回答を見ながら以前の投稿を見ていただければ理解出来るかと思います。
如何でしょうか？

恒等式の成立条件を教科書や参考書で復習しておかれるといいでしょう。

お礼

なるほど、分かりました
回答ありがとうございました