数学II 1対1対応の演習 整式の割り算/周期性に着目

質問

数学II 1対1対応の演習 整式の割り算/周期性に着目

x^100をx^2+x+1で割算する。商の中でx^88、x^33の係数を求めよ。また、余りを求めよ。

この問題で質問があります。

解答を見ていくと、

商の係数と丸く囲まれた部分には、
1⇔「-1、-1」
-1⇔「0、1」
0⇔「1、0」
の対応がある。
『商のx^88の係数は、(98-88+1)÷3=3 余り2 から、「-1」
商のx^33の係数は、(98-33+1)÷3=22 余り0 から、「0」
商の定数項は、 (98+1)÷3=33 余り 0 から、「0」 』
商の定数項「0」に対応する丸く囲まれた部分は、「1、0」であり、これが余りの係数を表しているので、xの式に戻して
余りは x

『 』で囲った所を教えてもらいたいのですが、なぜ、3余り2から、「-1」となるのか、他の２つも同じ疑問をもったので、そうなる訳を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

OKXavier · ベストアンサー

>『 』で囲った所を教えてもらいたいのですが、

かみ砕いて説明します。
余りを１次以下の式R(x)とおくと、
x^100=(x^2+x+1)(x^98-x^97+0x^96+x^95-x^94+0x^93+x^92-x^91+0x^90+x^89-x^88+0x^87+‥
　　　‥+x^2-x^1+0x^0)+R(x)
のように書けます。

３項ごとに規則性があることに気づくはずです。
ですから、x^88　は商の第　98-88+1　項目に相当し、商の符号は　+1,-1,0　の繰り返し
ですから、x^88　の係数は　-1　と分かります。
商の第何項目がどんな係数になるかの対応が、項数を３で割った余りで仕分けされて書か
れています。

お礼

ありがとうごさいます。
スッキリしました。

回答No.1

Tacosan

「丸く囲まれた部分」がどこなのかわかりません.
「解答」を無視して本題を考えると, x^2+x+1 = (x^3-1)/(x-1) だから
「x^100 を x^2+x+1 で割った商」と「x^100(x-1) を x^3-1 で割った商」
は等しくなるので後者を考えればいい. そして, x^100 を x^3-1 で割った商は簡単に求まる.