余りを求める問題ができません・・・

質問

えっと、多分数IIの範囲なんですが、
xの整式ｆ(x)をｘ^2＋1で割ったら余りがｘ＋3、ｘ^2＋２で割ったら余りが、2x－1であった。ｆ(x)を(x^2＋1)(x^2＋2)…(※)で割った時の余りは？
という問で、解答にf(x)を(※)で割ったときの商をq(x),余りをr(x)としf(x)＝(※)q(x)r(x)…((1))とすると(1)において(※)q(x)はx^2＋1,x^2＋2の両方で割り切れるから『f(x)をx^2＋1,x^2＋2で割った余りはそれぞれr(x)をx^2＋1,x^2＋2で割った余りに等しい』とあるんです。
僕はここの『』のところがよく理解できないんです…。教えてください！！(分かりにくい説明でごめんなさい。。)

回答No.1

R-gray · ベストアンサー

質問文の(1)の式が間違っているように思えます。正しくは
f(x)=(x^2+1)(x^2+2)q(x)+r(x)・・・・・・・・☆
ではないですか？r(x)は余りなのですから。
f(x)をx^2+1で割った余りというのは☆の右辺をx^2+1で割った余りです。
☆右辺の第一項はx^2+1で割り切れますから結局あまりはr(x)をx^2+1で割った余り一致しますね。
x^2+2で割るときも同様です。
あとはr(x)=ax^3 + bx^2 + cx + dなどと置けば
（割る式である(x^2+1)(x^2+2)が４次式であるから）
(c-a)x+(d-b)=x+3,(c-2a)x+(d-2b)=2x-1などが得られて解けるはず。

お礼

あっ間違えてました・・・
ありがとうございます！！もっかい考え直してみます！！

回答No.4

tatsumi01

「f(x)＝(※)q(x)r(x)…((1))とすると」の部分
「f(x)＝(※)q(x)+r(x)…((1))とすると」の間違いですね。
(1) で両辺を (x^2＋1) で割ると (※)q(x) が割り切れるから余りが出ないことはわかりますか。
とすれば、左辺の f(x) を (x^2＋1) で割った余りは、r(x) を (x^2＋1) で割った余りになりますね。（式で書くこともできますが、直感的に理解して下さい。）
(x^2＋2) で両辺を割った場合も同じです。

お礼

意味がわかりました！！ありがとうございます！

回答No.3

debut

＞f(x)＝(※)q(x)r(x)…((1))
　は　f(x)＝(※)q(x)+r(x) では？

　f(x)を(x^2+1)で割ったときr(x)はさらに(x^2+1)s(x)+t(x)という形
　にできて、t(x)=x+3になり、
　f(x)を(x^2+2)で割ったときr(x)はさらに(x^2+2)u(x)+v(x)という形
　にできて、v(x)=2x-1になる。　ということです。
　　※もちろん、s(x),u(x)は商で、t(x),v(x)は余りです。

r(x)は３次式なので、ax^3+bx^2+cx+dとして↑のことから割り算をして、
a,b,c,dを決定すればいいわけです。

補足

詳しい説明ありがとうございます
わｋりました！

回答No.2

HANANOKEIJ

こんばんは、kuerutenさん。
f(x)＝(※)q(x)+r(x)…(1)
f(x)=g(x)(x^2+1)+x+3・・・(2)
f(x)=h(x)(x^2+2)+2x-1・・・(3)
r(x)が３次式になることはわかりますか？

お礼

割る式が４次だから余りは３次以下になるんですよね。。それは」わかります。ありがとうございます