定数項は「０」か「なし」か？

質問

以前にも質問があったようですし、「人による見解の相違」ということなのかもしれません？が・・・

例えば、整式　ｘ＾３＋２ｘ　について、
（１）この整式の定数項は、「なし」なのか「０」なのか？
（２）「この整式の定数項を求めよ。」という質問は、おかしいのか？
（３）「この整式の定数項を求めよ。」という質問に「なし」と答えたら、バツなのか？

また、例えば３次関数　ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　を考えると、
（１）この関数のｙ切片は、「なし」なのか「０」なのか？
一般に、
（２）「整関数のｙ切片は、その整式の定数項である。」という表現は、不適切なのか？

さらに関連して、
例えば３次関数　ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　について、
（３）「この関数の２次の項」は、「なし」なのか「０ｘ＾２」と答えても良いのか？
（４）「この関数の２次の係数」は、「なし」なのか「０」なのか？

以上のようなことなのですが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.10

arrysthmia · ベストアンサー

あぁ、しまった！ 「tan 90°」でしたねぇ。
済みません。tan 90° が 0 なワケがない。

「tan 90°」という式の値は「ない」のか、
∞ という値が「ある」のかは、立場というか、
考察する土俵によっても違ってくる可能性は
あることにはありますが…　普通は、「ない」
でしょうね。 失礼しました。

少し似た話：
二次方程式 x^2 + 1 = 0 に解は「ある」か「ない」か。

＃ 文字列としての式を重視する人が他にも居た
＃ ことは、少し心強い。

お礼

再度ご回答をいただき、ありがとうございました。
このところ忙しくなってしまい、お礼が遅くなりすみません。
繰り返しのご回答に感謝します。

回答No.9

R_Earl

ANo.4です。

> そこでついでに、回答者Ｎｏ．４さんにお聞きしたいのですが、
> ｘ＾３＋２ｘ　の「定数項」は「０」でしょうか「なし」でしょうか？
> どちらでもよいでしょうか？

私は「定数項なし」の方がしっくりきます。
「単項式」や「多項式」という言葉もあるので、
例えばただ単に「5x」と書かれれば、
『5xという項だけがあって、他に項はない。だからこれは単項式である。』
と（私は）考えます。

ところで、ANo.8さんの回答文に気になった点があります。

> 「tan ９０°」は値の「ない」式だと主張していることになりますが？
> 値が０であることと、値が無いことは、違います。０という値が「ある」んですから。

ANo.8さんの主張は
「tan90° = 0であるので、tan90°の値は0である」
でしょうか？

tan90°≠ 0（というより、未定義）ではないでしょうか。
なので「tan90°の値はない」でも良いと思います。

お礼

再度ご回答をいただき、ありがとうございました。
このところ忙しくなってしまい、お礼が遅くなりすみません。
ご回答に感謝します。

回答No.8

arrysthmia

お好きですね…

例１
ひとつ目　○
ふたつ目　×　→　tan ０°＋ tan ９０°　という式には、右の項がある。その値は０である。
A No.7 の例５ には、不賛成なのですね。 しかし、それでは、
「tan ９０°」は値の「ない」式だと主張していることになりますが？
値が０であることと、値が無いことは、違います。０という値が「ある」んですから。

例２
みっととも　○

例３
よっつとも　○
ただし　→　ｘ　という式には、定数の項が無い。よって、定数項の値は０である。
　　　　　　ｘ　という式の値が０では、ありません。

例４
ふたつとも　○

例５
ひとつめ、ふたつめ　○
みっつめ　微妙…
A No.7 に書いたように、「ｘ＾３＋２ｘ」には、本来、「定数項」は無いのですが、
慣用上、定数項の無い多項式の「定数項の値」は０であり、その事を、更にくだけて、
「ｘ＾３＋２ｘの定数項は０である」と言い切ってしまう用法が、広く定着してしまっています。
「最近の若者の日本語はなっていない！」と叫んでも、世間の日本語が良くならないように、
これも、しかたのないことなのだろうと思います。

お礼

再度ご回答をいただき、ありがとうございました。
このところ忙しくなってしまい、お礼が遅くなりすみません。
繰り返しのご回答に感謝します。

回答No.7

arrysthmia

←No.6 補足
＞ 「ある」とか「ない」とかいう語感の問題でしょうか・・・？

式の同値性と、文字列としての比較の区別がついているか否かの問題だと思います。
「ｘ＾３＋２ｘ＋０」と「ｘ＾３＋２ｘ」は、異なる文字列ですが、同値な多項式です。
それは、式そのものは異なるが、式が表す関数は同じだということ。「式は異なる」のです。
「定数項」は、「項」の分類名ですから、（本来は、）関数より文字列としての式に
係わる用語です。その辺が、なし崩しに融通して使われるため、貴方の今回の疑問が
生じたのでしょう。「ｘ＾３＋２ｘの定数項は０」といった用法は、「定数項」の語義に
反するのですが、慣用として十分定着しており、容易には否定できません。
「ご飯が食べれる」みたいなものです。

例１
ｘ＾３＋２ｘ＋０　には、定数項「０」があり、その値は０である。
ｘ＾３＋２ｘ　　　には、定数項は無い。よって、定数項の値は０である。

例２
ｘ＾３＋０ｘ＾２＋２ｘ　には、２次の項があり、その式は「０ｘ＾２」である。
ｘ＾３　　　　　＋２ｘ　には、２次の項は無い。よって、２次項の値は０である。
　　　　　　　　　　　　　　　式に０ｘ＾２を加えても、多項式は同値である。

例３　同上

例４
１ｘ＾３＋２ｘ　には、３次の係数「１」があり、その値は１である。
　ｘ＾３＋２ｘ　にも、３次の係数「１」があるが、表記上省略されている。

「係数」は、文字列としての式の用語ではなく、関数としての多項式の部品です。
書いてなくても、そこに在る。

例５
tan ０°＋ tan ９０°という式には、右の項があり、その値は０である。

「ない」ハズがないでしょう？ ０があるんだから。流石に、これは荒唐無稽。

お礼

繰り返しご回答をお寄せいただき、大変ありがとうございます。

おかげ様で、段々と様子が分かってきた気がします。
「文字列」としての「定数項」という「用語」と
関数としての「定数項」という「値」の違い、
といったことでしょうか・・・

段々分かってきたのですが、再度、確認させてください。
繰り返しですみませんが、ご都合がつけば是非よろしくお願いします。

例１
tan ０°＋ tan ９０°　という式には、「左の項」が「ある」。その「値」は「０」である。
tan ０°＋ tan ９０°　という式には、「右の項」が「ある」。その「値」は「なし」である。

例２
tan ０°＋ tan ９０°　という式には、「右の項」が「ある」。
tan ０°　　　　　　　　　という式には、「右の項」が「ない」。
tan ０°　　　　　　　　　という式には、「右の項」が「ない」。よってその「式」（または「値」）は「０」である。

例３
ｘ＋９０　　という式には、「右の項」が「ある」。
ｘ＋９０　　という式には、「定数の項」が「ある」。
９０＋ｘ　　という式には、「定数の項」が「ある」。
ｘ　　　　　　という式には、「定数の項」が「ない」。よつてその「値」は「０」である。

例４
１ｘ＾３＋２ｘ　には、「３次の係数」が「ある」。
　 ｘ＾３＋２ｘ　には、「３次の係数」が「ない」。よってその「値」は「１」である。表記上の省略である。

例５
ｘ＾３＋２ｘ＋０　には、「定数項」が「ある」。その「値」は「０」である。
ｘ＾３＋２ｘ　　　　　には、「定数項」が「ない」。よってその「値」は「０」である。
ｘ＾３＋２ｘ　　　　　には、「定数項」が「ある」。その「値」は「０」である。これは表記上の省略である。

それぞれの例で、どれが適切でしょうか？
よろしくお願いします！

回答No.6

arrysthmia

←No.5 補足
＞ 私の感覚では、
＞ 定数項は（書いては）「ない」が、「０」（という値）である、
＞ という感じですので、

私の感覚では、定数項は、書いてないから本来「ない」のだが、
無い定数項の値は０なので、定数項の「値は０」だという感じです。
「０」という定数項が書いてあるのとは、少し趣が違うと思います。

「定数項」というからには、それは「項」であって、式に書かれた
記号列の一部を指す言葉です。本来は、その値を指す言葉ではない。
その辺は、日常的に混同されている訳ですが。

数学のテストとしては、正解は「０」が普通でしょう。A No.5 にも
そう書きました。しかし、数学の内容としては、「定数項なし」と
「定数項０」を区別するのは、馬鹿げた言葉遊びでしかありません。

ｘ＾２＋ｘ＋１＝０ の実数解は、「なし」が唯一の正解です。
「実数解を求めよ」と問うことについては、「実数解があれば求めよ」
でないことが、不適切と言えば不適切なのですが、その程度のことは、
解く人が出題者の意を汲んであげてもよいでしょう？

「この整式の定数項を求めよ。」に対して「なし」と答えると、
「その式の定数項は、どのようにしても求めようがない」と主張したと
受け取られる可能性があり、「定数項は無い」＝「定数項は０である」
という事実に気がつかなかったと見なされかねない　…と言ったのです。
あくまで、日本語会話上のヒントです。

お礼

再度、ていねいなご回答をいただき、ありがとうございました。

どうもやはり、言葉に対する感覚の違いということでしょうか・・・
「ある」とか「ない」とかいう語感の問題でしょうか・・・？

例１
ｘ＾３＋２ｘ＋０　には、定数項が「あり」、その値は「０」である。
ｘ＾３＋２ｘ　　　 には、定数項は「ない」がその値は「０」である。
例２
ｘ＾３＋０ｘ＾２＋２ｘ　には、２次の項が「あり」、その式（その値）は「０ｘ＾２」である。
ｘ＾３　　　　　 ＋２ｘ　には、２次の項は「ない」がその式（その値）は「０ｘ＾２」である。
例３
０ｘ＾４＋ｘ＾３＋２ｘ　には、４次の項が「あり」、その式（その値）は「０ｘ＾４」である。
　　　　　 ｘ＾３＋２ｘ　には、４次の項は「ない」がその式（その値）は「０ｘ＾４」である。
例４
１ｘ＾３＋２ｘ　には３次の係数が「あり」、その値は「１」である。
　ｘ＾３＋２ｘ　には３次の係数は「ない」がその値は「１」である。
例５
tan ０°＋ ｔａｎ９０°という式には右の項が「ある」が、その値は「ない」。
例６
（突然飛躍しますが・・・）
宇宙空間では、空気は「見えない」し「存在しない」。
地球の上では、空気は「見えない」が「存在する」。

それぞれの例で、どれが適切な表現ということなのでしょう・・・？

いずれにしろ、再度のご回答をありがとうございました。

回答No.5

arrysthmia

国語の質問やね。

整式　ｘ＾３＋２ｘ　の定数項は、「なし」なのか「０」なのか？
　　↓
「定数項は無い」も「定数項は０である」も、どちらも内容は正しい。
定数項が無い整式の定数項は０だから、それでよい。

しかし、数学よりも日本語の問題として、
「この整式の定数項を求めよ。」と言われて「なし」と答えるのはおかしい。
マルかバツがつくのが前提の質問（つまりテスト）であれば、それを、
定数項の無い整式の定数項が０であることを理解しておらず、答えを求めることが
できなかった　…と解釈される可能性があり、そうなればバツがつく。

３次関数　ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　のｙ切片は、「なし」なのか「０」なのか？
　　↓
こちらは、わかりやすい。「０」が正解で、「なし」は明確な間違い。
「ｙ切片が無い」とは、y軸と交わらないことを言う。y = 1/x などが、その例。
y = x^3 + 2x には、０というｙ切片が「ある」。

一般に「整関数のｙ切片は、その整式の定数項である。」という表現は、不適切なのか？
　　↓
不適切でも何でもない。正しい主張だ。整式の「定数項が無い」＝「定数項が０である」
場合も含めて、その主張は成立している。ただし、「定数項が無いから、ｙ切片は無い」
とやらかしたら、それは間違っている。理由は上述。

同様の理由から、ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　について、
（３）→　内容的には、どっちでもよい。答えてよいかは、質問の言葉尻により微妙。
（４）→ 「０」と答えるのが妥当。無いのは２次項で、係数だけが無い訳ではない。

お礼

ご回答をありがとうございました。
返事が遅くなりすみません。

ご指摘のように、確かに「国語の質問」ということかもしれませんね。

ご回答の中で、ｘ＾３＋２ｘ　について、
「定数項は無い」も「定数項は０である」も、どちらも内容は正しい。
ということですが、

私の感覚では、
定数項は（書いては）「ない」が、「０」（という値）である、
という感じですので、
数学の質問としては、正解は「０」とするべき。
と思うのですが・・・

また、ご回答の中で、
・・・数学よりも日本語の問題として、
「この整式の定数項を求めよ。」と言われて「なし」と答えるのはおかしい。
ということですが、

数学の問題としては、例えば
次の２次方程式の解を（実数の範囲で）求めよ。
（１）　ｘ＾２＋２ｘ＋１＝０
（２）　ｘ＾２＋ｘ＋１＝０
という問題では、（２）に解はありません。
つまり、（２）の「正解」は「（解）なし」になると思いますが、
こうした問題については、どうお考えになるでしょうか？

「ない」ものを「求めよ」という（２）の問題自体がおかしい、のか、
（２）に「解なし」と答えるのはよいが、ただ「なし」ではまずい、のか
それとも・・・

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.4

R_Earl

> 例えば、ｘ＾３＋２ｘ　について、
> 「３次の係数は？」と聞かれたときには、どう答えるのでしょうか。

「なし」は不正解です(中学数学では)。

x^3は「1x^3の1を省略したもの」とみなされます。
よってx^3の係数は1です。

お礼

ご回答をありがとうございました。

私も、ｘ＾３＋２ｘ　の「３次の係数」は「１」であり、
「なし」とは答えるのは不適当な気がします。

そこでついでに、回答者Ｎｏ．４さんにお聞きしたいのですが、
ｘ＾３＋２ｘ　の「定数項」は「０」でしょうか「なし」でしょうか？
どちらでもよいでしょうか？

・・・すみません。お礼に加えて質問をしてしまいましたが、
いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.3

tent-m8

方程式の解やグラフのy切片などは、「なし」と「０」では意味がちがいます。

しかし、整式の項については、「なし」と「０」は同じものを指します。

お礼

ご回答をありがとうございました。

整式の「項」については、確かに「なし」と「０」は同じものを指しますが、
質問への答え方としてもどちらでもいいのでしょうか？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

補足

ご回答については了解いたしましたが、追加の質問で、

例えば、ｘ＾３＋２ｘ　について、
「３次の係数は？」と聞かれたときには、どう答えるのでしょうか。
「なし」でしょうか？それとも・・・

よろしくお願いします。

回答No.2

owata-www

訂正
（２）「この整式の定数項を求めよ。」という質問は、おかしいのか？
まあ、普通はありませんね　ただおかしくないはないです

（３）「この整式の定数項を求めよ。」という質問に「なし」と答えたら、バツなのか？
×です

お礼

再度のご回答をありがとうございます。

訂正を了解いたしました。
私の見解と同じようで、ちょっとホッといたしましたが、
違う見解の方も多い気もしますし・・・

回答No.1

owata-www

（１）この整式の定数項は、「なし」なのか「０」なのか？
０です

（２）「この整式の定数項を求めよ。」という質問は、おかしいのか？
まあ、普通はありませんね

（３）「この整式の定数項を求めよ。」という質問に「なし」と答えたら、バツなのか？
×とはならないかもしれませんが、×になる可能性が高いかと

（１）この関数のｙ切片は、「なし」なのか「０」なのか？
０です

（２）「整関数のｙ切片は、その整式の定数項である。」という表現は、不適切なのか？
整関数という言葉の使い方が不適切です
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E9%96%A2%E6%95%B0

（３）「この関数の２次の項」は、「なし」なのか「０ｘ＾２」と答えても良いのか？
０*ｘ＾２です

（４）「この関数の２次の係数」は、「なし」なのか「０」なのか？
０です

すべてのn次関数は
y = a0 + a1x + a2x^2 + …　+ anx^n
と表されます。k次の項がないわけではありません

お礼

早速にご回答をありがとうございました。

私の見解もほとんど回答者Ｎｏ．１さんと同じで、

整式　ｘ＾３＋２ｘ　について、
（１）この整式の定数項は、「０」。
（２）「この整式の定数項を求めよ。」という質問は、おかしくはない。
（３）「この整式の定数項を求めよ。」という質問に「なし」と答えたら、バツになると思う。

また、３次関数　ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　を考えると、
（１）この関数のｙ切片は、当然「０」。
一般に、
（２）「整関数のｙ切片は、その整式の定数項である。」という表現は、適切である。

さらに関連して、
３次関数　ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　について、
（３）「この関数の２次の項」は、「なし」と言う言い方もあるが、正確には「０ｘ＾２」である。
（４）「この関数の２次の係数」は、もちろん「０」。

というものです。

ただし、Ｎｏ．１さんのご指摘のとおり、
「整関数のｙ切片は、その整式の定数項である。」という部分の「整関数」については、
もちろん、ここでは実数上での実係数関数を考えていますし、
「整関数」というのは、整式で表される「有理整関数」のことでした。
誤解される表現ですみません。

補足

ご回答については了解いたしましたが、ご回答の最後の部分で、

すべてのn次関数は
y = a0 + a1x + a2x^2 + …　+ anx^n
と表されます。k次の項がないわけではありません

とあります。

もちろんこのとおりですが、ここで例えば
「この関数の（ｎ＋１）次の項は？」と質問されたら、
どう答えるのが正解でしょうか？
「なし」でしょうか、それとも（もちろん）「０ｘ＾（ｎ＋１）」でしょうか？

よろしくお願いします。