高校数学；数と式とその論証

質問

[問] 整式 f(x) と実数a があり、条件(I)(II)(III)をみたしている。
　　 (I) f(x) を x^2+3x+2 で割ると 5x+7　余る。
　　 (II) f(x) を x^2+4x+3 で割ると 2x+a　余る。
　　 (III) f(x) は(I)(II)をみたす整式の中で次数が最小である。
　　 このとき、a の値と f(x) を求めよ。

[解答]
(I)より、 f(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+5x+7　―(1)
(II)より、 f(x)=(x+1)(x+3)P(x)+2x+a　―(2)　　(Q(x),P(x)ともに整式)
~途中省略~ (x=-1などを代入していく)
......a=4　と求めることができる。
(1),(2)より.f(-3)=2Q(-3)-8=-2
　　　　　∴　Q(-3)=3　⇔　Q(x)=(x+3)R(x)+3 (R(x)は整式)　と書ける。
(1)に代入すると
f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)R(x)+3(x+1)(x+2)+5x+7 が得られ、条件(III)によりR(x)=0 である。
　　　　　　　∴ (最低次のf(x)) = 3x^2+14x+13

[質問]
最終的にR(x)=0としましたが、(1)の時点でQ(x)=0とすると
どこに問題が生じるのでしょうか？

(1)でQ(x)=0、(2)でP(x)=0とすると明らかにおかしくなるのですが、
具体的に説明することができません。
よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)の時点でQ(x)=0とすると
f(x)=5x+7
となって (II) を満足することができない。

お礼

この程度でよかったんですね；
ありがとうございました。