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数式と多項式の問題解説に疑問あり
- 整式f（x）と実数aについての問題。条件（i）と（ii）を満たすf（x）とaの値を求める。
- 条件（i）より、f（x）は（x＋１）（x＋２）Q(1)（x）＋５x＋７で表される。
- 条件（ii）より、f（x）は（x＋１）（x＋３）Q(2)（x）＋２x＋aで表される。
- eitomansan
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- 数学・算数
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結論から先に言うとQ(x)は何でも良いです。 この結論は f（x）＝（x＋１）（x＋２）（x＋３）Q（x）＋３ｘ＾２＋１４ｘ＋１３ の第１項は x＾２＋３x＋２ でも x＾２＋４x＋３ でも割り切れるので、(i),(ii)の条件をｆが満たすためには第２項で(i),(ii)を満たせば良いからです。 実際第２項は ３（x＾２＋３x＋２）＋５ｘ＋７ とも書けますし、 ３（x＾２＋４x＋３）＋２ｘ＋４ ともかけるので、ふたつの条件を満たしています。 したがって第１項のQ（ｘ）は定数だろうと ｘ だろうと ｘ＋ｘ＾２＋ｘ＾３ だろうと、なんであってもふたつの条件を満たすことになります。 ではなぜそうなるかということですが、 理由は関数ｆ（ｘ）を求めるために与えられた二つの式が、Q(1)（ｘ）とQ(2)(x)の２通りには表されていますが、結局は同じものを表している式だからです。 これは連立方程式のようにふたつの異なる方程式を与えられているものではありません。実際連立方程式の場合でも、 ｙ＝ｘ ２ｙ＝２ｘ のように本質的には同じものがふたつ与えられても解は無限に存在してしまいます。 これは式がふたつあるように見えて実際にはひとつしか式がなく、ｘとｙに制限があまりかかっていないためです。 関数ｆ（ｘ）をQ(1)（ｘ）とQ(2)(x)の２通りに表していますが、実際には同じものです。したがって Q（１）（ｘ）＝（ｘ＋３）Q(x)＋３ とおけば、ひとつめの式に代入して f（x）＝（x＋１）（x＋２）（x＋３）Q（x）＋３ｘ＾２＋１４ｘ＋１３ となりますが、ここでまた因数分解すると f（x）＝（x＋１）（x＋３）｛（ｘ＋２）Q（x）＋３｝＋２x＋４ となり、Q(2)(x)も Q(2)(x)＝（ｘ＋２）Q（x）＋３ と決まってしまいます。 ふたつ式があるように見えますが、片方から片方を表すことができてしまうのです。 したがって、以降どんなｘを代入してみても、当たり前の答えが返ってきます。例えば ｘ＝０のとき、１本目のｆ（ｘ）の式も、２本目のｆ（ｘ）の式も、 ６Q(０)＋１３ となり、 ６Q(０)＋１３＝６Q(０)＋１３ の式からはなにも得られるものがありません。つまりなんの制約も得られないということです。 他のｘでも同じことです。
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- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「ありえるのではないでしょうか」と思うだけで, 自分で実行しようとは全く考えもしないのですか?
お礼
いろいろとやってみようと思います。ありがとうございました。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2965)
なぜそこに引っかかって、 f（x）＝（x＋１）（x＋２）Q(1)（x）＋５x＋７ としたところには疑問を感じないのかよくわからないのですが、 上記でQ(1)(x)はｆ（ｘ）をｘ＾２＋３ｘ＋２で割った商であるように、 Q(x)はQ(1)(x)をｘ＋３で割った商でなければなりません。 ｘ＝３であればｘ＋３＝０なのでQ(x)はなんでもいいように見え ますが、それ以外の場合にQ(x)に好き放題な整式をあてはめて いたらそれこそ Q(1)（x）＝（x＋３）Q（x）＋３ とはならないでしょ？
お礼
解説ありがとうございます。大変参考になりました。
お礼
非常に参考になりました。ありがとうございました。