字数の高い等式

質問

f(x)は5次の整式でx^5の係数は1である
f(x)がf(x^4)-7=(f(x)-7)^4をみたすならばf(x)はx^5+□x^4+□x^3+□x^2+□x+□である

解き方が分からないので答えまでの過程を教えてください
答えはx^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+7です

回答No.3

staratras · ベストアンサー

f(x^4)-7=(f(x)-7)^4　…(1)

f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e　…(2)　とおいて(1)式に代入し、xの値にかかわらず成り立つ条件を求めれば解けるはずですが、計算量が膨大になるので、多少工夫を試みました。

(1)式のxに-xを代入すると、
f((-x)^4)-7=f(x^4)-7=(f(-x)-7)^4だから
(f(x)-7)^4-(f(-x)-7)^4=0　これを因数分解すれば
〔(f(x)-7)^2+(f(-x)-7)^2〕(f(x)+f(-x)-14)(f(x)-f(-x))=0

ここでf(x)はxの5次の項の係数が1の整式なので、xの値にかかわらず常に0となり得るのは
f(x)+f(-x)-14=0　のみである。(2)からf(-x)=-x^5+ax^4-bx^3+cx^2-dx+e　なので
2ax^4+2cx^2+2e-14=0 これがxの値にかかわらず常に成り立つ条件は
a=0,c=0,e=7 である。

したがってf(x)=x^5+bx^3+dx+7 となり、このとき
f(x^4)-7=x^20+bx^12+dx^4=x^4・(x^16+bx^8+d)…(3)
(f(x)-7)^4=(x^5+bx^3+dx)^4=x^4・(x^4+bx^2+d)^4…(4)
(４)-(3)=0より
(f(x)-7)^4-(f(x^4)-7)=x^4・〔(x^16+bx^8+d)-(x^4+bx^2+d)^4〕=x^4・〔x^16+(4b)x^14+(4d+6b^2)x^12+(12bd+4b^3)x^10+(12b^2d+b^4+6d^2-b)x^8+(12bd^2+4b^3d)x^6+(6b^2d^2+4d^3)x^4+(4bd^3)x^2+6d^2-d〕=0

この式がxの値にかかわらず成り立つ条件はxの各次数の係数がすべて0となるように、以下の式がすべて成り立つことである。

4b=0,4d+6b^2=0,12bd+4b^3=0,12b^2d+b^4+6d^2-b=0,12bd^2+4b^3d=0,6b^2d^2+4d^3=0,4bd^3=0,6d^2-d=0

最初の式からb=0 次の式に代入すればd=0,このb=d=0のとき、残りの式もすべて成り立つ。

したがってf(x)=x^5+7であり、このときf(x^4)-7=(f(x)-7)^4=x^20 となって確かに(1)を満たす。

補足

＞ここでf(x)はxの5次の項の係数が1の整式なので、xの値にかかわらず常に0となり得るのは
＞f(x)+f(-x)-14=0　のみである。

何故xの値に関わらず常に0となるのを取り出したのでしょうか？

回答No.2

info22_

f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e　,,,(A)
とおき次式に代入
f(x^4)-7-(f(x)-7)^4=0　...(B)
これはxについての恒等式なのでxの各次の係数は全てゼロとなる。
x^19の係数:-4a=0 ∴a=0
x^18の係数:-6a^2-4b=0 ∴b=0
x^17の係数：-4a^2-12ab-4c=0 ∴c=0
x^16の係数：-4d-12ac-6b^2-12(a^2)b-a^4+a=0 ∴d=0
x^15の係数：-4e-12ad-12bc-12(a^2)c-12ab^2-4(a^3)b+28=0 ∴e=7
x^14の係数: 0
x^13の係数：0
x^12の係数：0
x^11の係数：0
x^10の係数：-6(e-7)^2=0 (成立)
x^9の係数：0
x^8の係数：0
x^7の係数：0
x^6の係数：0
x^5の係数：-4(e-7)^3=0 (成立)
x^4の係数：0
x^3の係数：0
x^2の係数：0
xの係数：0
定数項：-(e-8)(e-7)(e^2-13e+43)=0 (e=7より成立)

以上から
　a=b=c=d=0,e=7
(A)に代入して
　f(x)=x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+7=x^5+7

補足

＞これはxについての恒等式なのでxの各次の係数は全てゼロとなる。

この意味がよく分からないので、出来れば説明して頂きたいです お願いします

回答No.1

kacchann

まあ、字数の高いところの係数を
1つ1つ決めていく感じかな？
---

f(x)=x^5+ax^4+(3次以下)とおく。
すると
f-7=x^5+ax^4+(3次以下)
(f-7)^4=x^20 + 4×(x^5)^3×(ax^4) + (もっと低い次数)
となる。(※単に展開するだけだけど、二項定理などを使って考える)

また、
f(x^4)-7=x^20 + ax^16 + (もっと低い次数)
である。

19次の項の係数を比較してa=0
---

ではあらためて、
f(x)=x^5+ax^3+(2次以下)とおく。
・・・
・・・
以下同じようにして
整式fの3次、2次、1次の項の係数および定数項を
順次決定していく。

という感じかな？？
あんまり自信ない。

補足

補足質問なのですが
f-7=x^5+ax^4+(3次以下)
のfとはなんのことでしょうか？